O número de triângulos de perímetro igual a [tex3]19[/tex3]
e uma das alturas igual a [tex3]4,[/tex3]
inscritíveis num círculo de raio [tex3]5,[/tex3]
cujos lados têm medidas expressas por números inteiros é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1986) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido
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Wachsmuth
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(Colégio Naval - 1986) Geometria Plana: Triângulos
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Razão: tex --> tex3
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caju
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22
21:50
Re: (Colégio Naval - 1986) Geometria Plana: Triângulos
Olá Wachsmuth,
Digamos que o triângulo tem lados "a", "b" e "c" e que a altura 4 é relativa ao lado "a" (sem perda de generalidade). Utilizando a fórmula da área do triângulo em relação ao raio R do círculo circunscrito:
[tex3]A = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}[/tex3]
Mas, como a altura é 4, podemos dizer que [tex3]A=\frac{4 \cdot a}{2}[/tex3]
Podemos agora igualar as duas equações e colocar R=5:
[tex3]\frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot 5}=\frac{4 \cdot a}{2}[/tex3]
[tex3]b \cdot c = 40[/tex3]
Este produto de números inteiros só resultará 40 nos seguintes casos:
[tex3]1\cdot 40\\
5\cdot 8\\
2\cdot 20\\
10\cdot 4[/tex3]
Note que [tex3]1\cdot 40[/tex3] é impossível, pois o perímetro é [tex3]19,[/tex3] e um lado igual a [tex3]40[/tex3] já ultrapassa [tex3]19.[/tex3]
Idem para [tex3]2\cdot 20[/tex3]
Veja que [tex3]10\cdot 4[/tex3] já não satisfaz a desigualdade triangular.
Ficamos então com [tex3]5\cdot 8[/tex3]
[tex3]a = 6\\
b = 5\\
c = 8[/tex3]
Apenas 1 triângulo existe.
Atenciosamente
Prof. Caju
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Digamos que o triângulo tem lados "a", "b" e "c" e que a altura 4 é relativa ao lado "a" (sem perda de generalidade). Utilizando a fórmula da área do triângulo em relação ao raio R do círculo circunscrito:
[tex3]A = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}[/tex3]
Mas, como a altura é 4, podemos dizer que [tex3]A=\frac{4 \cdot a}{2}[/tex3]
Podemos agora igualar as duas equações e colocar R=5:
[tex3]\frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot 5}=\frac{4 \cdot a}{2}[/tex3]
[tex3]b \cdot c = 40[/tex3]
Este produto de números inteiros só resultará 40 nos seguintes casos:
[tex3]1\cdot 40\\
5\cdot 8\\
2\cdot 20\\
10\cdot 4[/tex3]
Note que [tex3]1\cdot 40[/tex3] é impossível, pois o perímetro é [tex3]19,[/tex3] e um lado igual a [tex3]40[/tex3] já ultrapassa [tex3]19.[/tex3]
Idem para [tex3]2\cdot 20[/tex3]
Veja que [tex3]10\cdot 4[/tex3] já não satisfaz a desigualdade triangular.
Ficamos então com [tex3]5\cdot 8[/tex3]
[tex3]a = 6\\
b = 5\\
c = 8[/tex3]
Apenas 1 triângulo existe.
Atenciosamente
Prof. Caju
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wilterfell
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Dez 2013
26
15:23
Re: (Colégio Naval - 1986) Geometria Plana: Triângulos
Olá professor,
No caso dessa questão, meu tio chamou a atenção para a incompatibilidade nos dados da mesma. Segue a justificativa:
A questão deveria ser ou foi anulada pois os dados, a meu ver, são incompatíveis. De acordo com a solução proposta,o triângulo teria as medidas expressas pelos números 8, 5 e 6 (perímetro 19). Para essas medidas o triângulo teria 14,98 unidades de área.
Logo o raio do círculo circunscrito seria R= abc/4S 8x5x6/4x14,98 = 4,005 e não 5 como proposto no problema. E a altura relativa ao lado com medida 6 seria calculada assim: ha = 2S/6 =2x14,98/6 =4,99 e não 4 como consta do problema.
No caso dessa questão, meu tio chamou a atenção para a incompatibilidade nos dados da mesma. Segue a justificativa:
A questão deveria ser ou foi anulada pois os dados, a meu ver, são incompatíveis. De acordo com a solução proposta,o triângulo teria as medidas expressas pelos números 8, 5 e 6 (perímetro 19). Para essas medidas o triângulo teria 14,98 unidades de área.
Logo o raio do círculo circunscrito seria R= abc/4S 8x5x6/4x14,98 = 4,005 e não 5 como proposto no problema. E a altura relativa ao lado com medida 6 seria calculada assim: ha = 2S/6 =2x14,98/6 =4,99 e não 4 como consta do problema.
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caju
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26
18:45
Re: (Colégio Naval - 1986) Geometria Plana: Triângulos
Olá wilterfell,
O argumento do seu tio é válido! Concordo com ele.
Provavelmente, por não conter a alternativa ZERO entre as respostas, fui levado a não testar a resposta 1 que encontrei.
Agora, como esta questão foi da prova de 1986, alguém teria o gabarito oficial para ver se foi realmente anulada?
Grande abraço,
Prof. Caju
O argumento do seu tio é válido! Concordo com ele.
Provavelmente, por não conter a alternativa ZERO entre as respostas, fui levado a não testar a resposta 1 que encontrei.
Agora, como esta questão foi da prova de 1986, alguém teria o gabarito oficial para ver se foi realmente anulada?
Grande abraço,
Prof. Caju
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