CAPÍTULOS DE ESTUDO 1 • Equações Recíprocas 2 • Recíprocas 1° Espécie 3 • Recíprocas 2° Espécie 4 • Resumão 5 • Resolução de Recíprocas 6 • Exercícios

Equação Polinomial Recíproca, ou simplesmente "Equação recíproca", é aquela que, se possui "a" como raiz, então seu recíproco também será raiz da equação.

Por exemplo, a equação polinomial que tem as raízes é uma equação recíproca do quarto grau. Pois o recíproco de é e o recíproco de é .

Devo salientar os casos em que temos as raízes a=1 ou a=-1. É fácil constatar que o recíproco de 1 é o próprio 1 e de -1 é o próprio -1. Portanto, para uma equação, que tenha 1 ou -1 como raiz, ser recíproca não precisa ter, necessariamente, estas raízes duplas. Por exemplo, a equação que tem raízes é uma equação recíproca do terceiro grau, pois estão presentes todas raízes juntamente com suas recíprocas (no caso do 1 é ele mesmo). É o caso também da equação do quinto grau que tem as raízes .

Uma propriedade importantíssima de equações recíprocas, é a disposição dos seus coeficientes quando ordenados segundo as potências decrescentes da variável. Por exemplo, vamos montar a equação que possui as raízes :

Efetuando os cálculos teremos:

(1)         

Esta será a equação (1). Note que há uma simetria nos coeficientes desta equação que estão eqüidistantes do centro (marcados com mesma cor na equação acima). Esta simetria irá ocorrer sempre em equações recíprocas,  salvo a situação descrita abaixo.

Vamos analisar mais uma equação, agora com as raízes :

Efetuando os cálculos, teremos:

(2)          

Esta será a equação (2). Note que, novamente, há uma simetria nos coeficientes (marcados com mesma cor na equação acima), mas agora esta simetria é oposta (sinal trocado). Este fato se dá devido a presença da raiz 1. Equações recíprocas que possuem "1" como raiz terão coeficientes iguais mas com sinais trocados, nos termos eqüidistantes. Só devo salientar que a raiz "1" deve aparecer com multiplicidade ímpar, por exemplo, se tiver duas raízes iguais a "1", a equaçào não possuirá a simetria mostrada em (2). Este tipo de equação (simetria oposta) damos o nome de Equação Polinomial Recíproca de 2^a Espécie, e à equação (1) damos o nome de Equação Polinomial Recíproca de 1^a Espécie.

Estes dois tipos de simetria irão ocorrer sempre, em equações polinomiais recíprocas. Sendo assim, podemos definir Equações Polinomiais Recíprocas de uma maneira mais usual para nós:

Veja exemplos:

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