IME / ITA ⇒ (CM BH-15) Sistemas não lineares Tópico resolvido

[Papiro8814]

(CM BH-15) Sobre o sistema de equações

[tex3]\begin{cases}
\frac{xy}{x+y}=10 \\
\frac{xz}{x+z}=20 \\
\frac{yz}{y+z}=10
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\frac{xy}{x+y}=10 \\
\frac{xz}{x+z}=20 \\
\frac{yz}{y+z}=10
\end{cases}[/tex3]

pode se afirmar que o valor de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

é

Resposta

---

é um número do múltiplo de 8

[caju]

Olá, @Papiro8814,

Lembrando da física, associação paralela de resistores, podemos ganhar um tempinho nessa questão:

[tex3]R_{eq}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\Rightarrow \boxed{\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R_{eq}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\Rightarrow \boxed{\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} }[/tex3]

Ou seja, dizendo que [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

e [tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

são as resistências dos resistores e [tex3]10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10[/tex3]

, [tex3]20[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]20[/tex3]

e [tex3]10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10[/tex3]

são as resistências equivalentes da associação em paralelo de cada parzinho de resistores, chegamos nas equações do sistema do enunciado.

Assim, podemos rescrever as equações do enunciado da seguinte forma:

[tex3]\begin{matrix}
\color{red}{ \text{ ( I ) } } \\
\color{red}{ \text{ (II) } } \\
\color{red}{ \text{ (III) } }
\end{matrix}
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{20} \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{10}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{matrix}
\color{red}{ \text{ ( I ) } } \\
\color{red}{ \text{ (II) } } \\
\color{red}{ \text{ (III) } }
\end{matrix}
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{20} \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{10}
\end{cases}[/tex3]

Agora, pra encontrar apenas o valor de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

nesse sistema, podemos fazer [tex3]\color{red}{\text{( I ) + (II) - (III)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\color{red}{\text{( I ) + (II) - (III)}}[/tex3]

:

[tex3]\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}_{\color{red}{\text{( I )}}}+\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}_{\color{red}{\text{(II)}}}-\underbrace{\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)}_{\color{red}{\text{(III)}}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{20}-\frac{1}{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}_{\color{red}{\text{( I )}}}+\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}_{\color{red}{\text{(II)}}}-\underbrace{\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)}_{\color{red}{\text{(III)}}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{20}-\frac{1}{10}[/tex3]

Cortando tudo o que der ali, ficamos com:

[tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

Efetuando a multiplicação cruzada:

[tex3]\boxed{\boxed{x=40}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{x=40}}[/tex3]

[Papiro8814]

Olá, @Papiro8814,

Lembrando da física, associação paralela de resistores, podemos ganhar um tempinho nessa questão:

[tex3]R_{eq}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\Rightarrow \boxed{\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R_{eq}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\Rightarrow \boxed{\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} }[/tex3]

Ou seja, dizendo que [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

e [tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

são as resistências dos resistores e [tex3]10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10[/tex3]

, [tex3]20[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]20[/tex3]

e [tex3]10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10[/tex3]

são as resistências equivalentes da associação em paralelo de cada parzinho de resistores, chegamos nas equações do sistema do enunciado.

Assim, podemos rescrever as equações do enunciado da seguinte forma:

[tex3]\begin{matrix}
\color{red}{\text{( I )}} \\
\color{red}{\text{(II)}} \\
\color{red}{\text{(III)}} \\
\end{matrix}\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10} \\
\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{20} \\
\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{10}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{matrix}
\color{red}{\text{( I )}} \\
\color{red}{\text{(II)}} \\
\color{red}{\text{(III)}} \\
\end{matrix}\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10} \\
\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{20} \\
\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{10}
\end{cases}[/tex3]

Agora, pra encontrar apenas o valor de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

nesse sistema, podemos fazer [tex3]\color{red}{\text{( I ) + (II) - (III)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\color{red}{\text{( I ) + (II) - (III)}}[/tex3]

:

[tex3]\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}_{\color{red}{\text{( I )}}}+\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}_{\color{red}{\text{(II)}}}-\underbrace{\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)}_{\color{red}{\text{(III)}}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{20}-\frac{1}{10}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}_{\color{red}{\text{( I )}}}+\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}_{\color{red}{\text{(II)}}}-\underbrace{\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)}_{\color{red}{\text{(III)}}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{20}-\frac{1}{10}[/tex3]

Cortando tudo o que der ali, ficamos com:

[tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

[tex3]\frac{2}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{x}=\frac{1}{20}[/tex3]

Efetuando a multiplicação cruzada:

[tex3]\boxed{\boxed{x=40}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{x=40}}[/tex3]

A sacada de lembrar dos resistores em paralelo eu nunca iria ter ou iria demorar muito para ver. Muito obrigado!

[caju]

Agora que você viu essa sacada sendo aplicada, com certeza está mais apto à aplicá-la numa próxima situação que enxergar "produto dividido pela soma"