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(Instututo-AOCP-2020) Sejam 𝒎, 𝒏, 𝒑 e 𝒒 as raízes do polinômio
𝑷(𝒙) = [tex3]x^4-14x^3+71x^2-154x+120[/tex3]

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[tex3]x^4-14x^3+71x^2-154x+120[/tex3]

, tal que 𝒎 < 𝑛 < 𝑝 < 𝑞. Considere que 𝒎, 𝒏 e
𝒒 sejam as medidas, em centímetros, do
comprimento, da largura e da altura de
um paralelepípedo reto-retângulo e 𝒑 seja
a medida, em centímetros, da aresta de
um cubo. Assim, a diferença entre o
volume desse cubo e desse
paralelepípedo, nessa ordem, é igual a
(A) 34 cm3.
(B) 27 cm3.
(C) 64 cm3.
(D) 94 cm3.
(E) 30 cm3.

Podemos tentar encontrar as raízes utilizando o Teorema da Raiz Racional:

Seja o polinômio de coeficientes inteiros [tex3]P(x)=a_0+a_1x^1+...+a_nx^n[/tex3]. Se [tex3]\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}[/tex3] for raíz desse polinômio, com [tex3]\mdc(p,q)=1[/tex3], então [tex3]p[/tex3] é divisor de [tex3]a_0[/tex3] e [tex3]q[/tex3] é divisor de [tex3]a_n[/tex3]

Como no nosso caso [tex3]a_4=1[/tex3]

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[tex3]a_4=1[/tex3]

, então todas as raízes racionais, se existirem, são inteiras. Como os divisores de [tex3]a_0=120[/tex3]

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[tex3]a_0=120[/tex3]

são [tex3]\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,24,30,40,60,120\}[/tex3]

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[tex3]\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,24,30,40,60,120\}[/tex3]

, então as possíveis raízes são da forma [tex3]\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm8,\pm10,\pm12,\pm15,\pm24,\pm30,\pm40,\pm60,\pm120\}[/tex3]

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[tex3]\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm8,\pm10,\pm12,\pm15,\pm24,\pm30,\pm40,\pm60,\pm120\}[/tex3]

. Como as raízes representam mediadas, então estas não podem ser negativas. Assim, podemos testar apenas as positivas. Testando estas, vemos que 2,3,4 e 5 são raízes. Portanto [tex3]m=2,n=3,p=4[/tex3]

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[tex3]m=2,n=3,p=4[/tex3]

e [tex3]q=5[/tex3]

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[tex3]q=5[/tex3]

. Calculando a diferença de volumes:
[tex3]p^3-mnq=4^3-2\cdot3\cdot 5[/tex3]

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[tex3]p^3-mnq=4^3-2\cdot3\cdot 5[/tex3]

[tex3]p^3-mnq=34\text{ cm}^3[/tex3]

Eu tinha substituído 1; -1; 2; -2 mas o resto não deu zero. E aí pensei nem doido vou substituir 3.
Mas valeu,
erro de cálculo meu mesmo.