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Calculo 3
Enviado: 14 Out 2021, 17:18
por fab12
5. Considere a curva do R3 parametrizada por σ(t) = (t, 1 − t^2 ,1).
a) Escreva equações da reta tangente à curva σ(t) no ponto (0, 1, 1).
b) Calcule o comprimento da curva σ(t) do ponto (0, 1, 1) ao ponto (1, 0, 1).
Re: Calculo 3
Enviado: 16 Out 2021, 15:13
por AnthonyC
a) Para encontrarmos uma reta tangente a uma curva, consideramos sua derivada:
[tex3]\sigma'(t)=(1,-2t,0)[/tex3]
No ponto dado, temos:
[tex3]\sigma(t)=(0,1,1)[/tex3]
[tex3](t,1-t^2,1)=(0,1,1)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
t=0 \\
1-t^2=1 \implies t=0\\
1=1
\end{cases}[/tex3]
Portanto, [tex3]t=0[/tex3]
. Logo:
[tex3]\sigma'(0)=(1,0,0)[/tex3]
Assim, a reta tangente a curva será dada por:
[tex3]r(u)=(0,1,1)+u\sigma'(0)[/tex3]
[tex3]r(u)=(0,1,1)+u(1,0,0)[/tex3]
[tex3]r(u)=(u,1,1)[/tex3]
b) Podemos calcular o comprimento de uma curva através da seguinte integral:
[tex3]L=\int _a^b \sqrt{\({d\sigma_x\over dt}\)^2+\({d\sigma_y\over dt}\)^2+\({d\sigma_z\over dt}\)^2}dt[/tex3]
Sabemos que em [tex3](0,1,1)[/tex3]
, [tex3]t=0[/tex3]
. Para o segundo ponto, temos:
[tex3]\begin{cases}
t=1 \\
1-t^2=0 \implies t=\pm 1\\
1=1
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]t=1[/tex3]
. Portanto, devemos realizar a integração de [tex3]0[/tex3]
até [tex3]1[/tex3]
:
[tex3]L=\int _0^1\sqrt{\(1\)^2+\(-2t\)^2+\(0\)^2}dt[/tex3]
[tex3]L=\int _0^1\sqrt{1+4t^2}dt[/tex3]
Fazendo a seguinte substituição [tex3]\begin{cases}
t={\tan(\theta)\over2} \\
dt={\sec^2(\theta)\over2}d\theta \\
t=0\implies \theta=0\\
t=1\implies \theta=\arctan(2)
\end{cases}[/tex3]
, temos:
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sqrt{1+4\[\tan(\theta)\over2\]^2}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)} \sqrt{1+\tan^2(\theta)}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sqrt{\sec^2(\theta)}\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}|\sec(\theta)|\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
Como no intervalo de integração, temos [tex3]\sec(\theta)\geq 0[/tex3]
, temos:
[tex3]L=\int _0^{\arctan(2)}\sec(\theta)\cdot{\sec^2(\theta)\over2}d\theta[/tex3]
[tex3]L={1\over2}\int _0^{\arctan(2)}\sec^3(\theta)d\theta[/tex3]
Resolvendo essa integral utilizando integração por partes, chegamos no resultado:
[tex3]L={\sqrt5\over2}+{\ln(2+\sqrt5)\over4}\approx 1,47[/tex3]