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Gostaria de saber como provar a seguinte sentença condicional usando demonstração direta, "Prove que para todo x e para todo y reais positivos, se x > y, então [tex3]x^{2}[/tex3] > [tex3]y^{2}[/tex3] ".

[tex3]
x,y\in\,\mathbb{R}^+\\
x < y\implies x^2 < xy\quad\quad\text{a multiplicação em }\mathbb{R}^+\text{ é compativel com a ordem}\\
x < y\implies xy < y^2\\
\text{e portanto }x < y\implies x^2 < y^2\quad\quad\text{a relação de ordem é transitiva}
[/tex3]

Outra maneira de provar seria utilizando cálculo.
Teorema: se uma função possui derivada positiva num intervalo [tex3](a,b)[/tex3] , então a função é crescente nesse intervalo.
Demonstração

Resposta

Pelo Teorema do valor médio, se uma função for diferenciável num intervalo (a,b), então existe [tex3]c\in(a,b)[/tex3] tal que [tex3]f'(c)={f(b)-f(a)\over b-a}[/tex3] . Por hipótese, temos [tex3]f'(c)>0[/tex3] , logo:
[tex3]0>{f(b)- f(a)\over b-a}[/tex3]
Como [tex3]b>a[/tex3] , então [tex3]b-a>0[/tex3] , assim podemos multiplicar a equação por [tex3]b-a[/tex3] sem inverter a ordem
[tex3]0>{f(b)- f(a)}[/tex3]
[tex3]{f(b)> f(a)}[/tex3]

Seja então o intervalo [tex3](0,b)[/tex3] , [tex3]b>0[/tex3] . Temos:
[tex3]f(x)=x^2[/tex3]
[tex3]f'(x)=2x[/tex3]
Como [tex3]x>0[/tex3] , então [tex3]2x>0\implies f'(x)>0[/tex3] . Pelo teorema acima, temos que [tex3]f(x)[/tex3] é crescente no intervalo [tex3](0,b)[/tex3] . Tomando [tex3]x_0,y_0\in(0,b)[/tex3] , com [tex3]x_0< y_0[/tex3] , pela definição de função crescente, temos:
[tex3]x_0< y_0\implies f(x_0)< f(y_0)\implies x_0^2< y_0^2[/tex3]

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Demonstração de teorema

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