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Problema Proposto
37 - Em um triángulo ABC se traçam as media­nas AM e CN que se interceptam em «G» tal que, o quadrilátero BMGN é circunscritível.
Que classe de triángulo é o triángulo ABC?

[tex3]T.Pitot: BM + NG = BN + MG\\
\frac{c}{2}+\frac{m_a}{3}=\frac{a}{2}+\frac{m_c}{3}\\
m_a−m_c=\frac{3}{2}(a−c)(1)\\
Círculo~ inscrito~ em ~BMGN ~também~ é~ incírculo~ do~ △ABM ~e~ △CBN. \implies \\
\text{sua áreas e o inraio são iguais, e portanto o perímetro também será igual}.\\
\therefore m_a+c+\frac{a}{2}=m_c+a+\frac{c}{2}\\
⟹ma−mc=\frac{1}{2}(a−c)\\
De(1)\frac{3}{2}(a−c)=\frac{1}{2}(a−c)
a−c=0 \therefore a = c \implies \boxed{\color{red}triangulo~ isosceles}[/tex3]

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[tex3]T.Pitot: BM + NG = BN + MG\\
\frac{c}{2}+\frac{m_a}{3}=\frac{a}{2}+\frac{m_c}{3}\\
m_a−m_c=\frac{3}{2}(a−c)(1)\\
Círculo~ inscrito~ em ~BMGN ~também~ é~ incírculo~ do~ △ABM ~e~ △CBN. \implies \\
\text{sua áreas e o inraio são iguais, e portanto o perímetro também será igual}.\\
\therefore m_a+c+\frac{a}{2}=m_c+a+\frac{c}{2}\\
⟹ma−mc=\frac{1}{2}(a−c)\\
De(1)\frac{3}{2}(a−c)=\frac{1}{2}(a−c)
a−c=0 \therefore a = c \implies \boxed{\color{red}triangulo~ isosceles}[/tex3]

(Solução:MathLover)