Estruturas álgebricas
Enviado: 17 Jul 2021, 06:37
por Fgui314
Seja R² o produto cartesiano de R por ele mesmo. Considerando a soma de vetores usual em R²,
(x, y) + (a, b) = (x + a,y+b),
verifique se (R², +) é um grupo.
Em cada item abaixo, considere a operação binária sobre A e verifique se ela é associativa e se ela é comutativa.
a) A =R e r*y= x+y b) A = Z e r*y=x+ry.
Re: Estruturas álgebricas
Enviado: 17 Jul 2021, 09:53
por deOliveira
Primeiro vamos mostrar que [tex3]R^2[/tex3]
com a operação usual de soma de vetores é um grupo.
Devemos mostrar que a operação é associativa, que existe elemento neutro e elemento inverso.
Sejam [tex3](a,b),(p,q),(x,y)\in\mathbb R^2[/tex3]
[tex3]((a,b)+(p,q))+(x,y)=\\
(a+p,b+q)+(x,y)=\\
((a+p)+x,(b+q)+y)=\\
(a+(p+x),b+(q+y))=\\(a+b)+(p+x,q+y)=\\(a+b)+((p,q)+(x,y))[/tex3]
Portanto, a operação é associativa.
Considere [tex3](0,0)\in\mathbb R^2[/tex3]
.
[tex3](x,y)+(0,0)=\\(x+0,y+0)=\\(x+y)[/tex3]
[tex3](0,0)+(x,y)=\\(0+x,0+y)=\\(x,y)[/tex3]
Portanto, [tex3](x,y)+(0,0)=(0,0)+(x,y)=(x,y)[/tex3]
, o que implica que [tex3](0,0)[/tex3]
é elemento neutro da operação.
Dado [tex3](x,y)[/tex3]
, temos que [tex3](-x,-y)\in\mathbb R^2[/tex3]
.
[tex3](x,y)+(-x,-y)=\\(x+(-x),y+(-y))=\\
(x-x,y-y)=\\(0,0)[/tex3]
[tex3](-x,-y)+(x,y)=\\(-x+x,-y+y)=\\(0,0)[/tex3]
Portanto, [tex3](x,y)+(-x,-y)=(-x,-y)+(x,y)=(0,0)[/tex3]
, o que implica que existe elemento inverso.
Portanto, [tex3]\mathbb R^2[/tex3]
com a operação usual de soma de vetores é um grupo.
[tex3]*[/tex3]
operação sobre [tex3]A[/tex3]
. Devemos verificar se cada uma das operações abaixo é comutativa e associativa.
a) [tex3]A=\mathbb R[/tex3]
e [tex3]x*y=\frac{x+y}2[/tex3]
.
Considere o seguinte:
[tex3](1*1)*2=\\\frac{1+1}2*2=\\1*2=\\\frac{1+2}2=\\\frac32[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]1*(1*2)=\\1*\frac{1+2}2=\\1*\frac32=\\\frac{1+\frac32}2=\\\frac{\frac52}2=\\\frac54[/tex3]
Dessa forma, temos que [tex3](1*1)*2\ne1*(1*2)[/tex3]
, já que [tex3]\frac 32\ne\frac54[/tex3]
. E portanto, [tex3]*[/tex3]
não é associativa.
Seja, [tex3]x,y\in\mathbb R[/tex3]
.
[tex3]x*y=\frac{x+y}2=\frac{y+x}2=y*x[/tex3]
Portanto, [tex3]*[/tex3]
é comutativa.
b) [tex3]A=\mathbb Z[/tex3]
e [tex3]x*y=x+xy[/tex3]
Considere o seguinte:
[tex3](1*0)*1=\\(1+1\cdot0)*1=\\1*1=\\1+1\cdot 1=\\2[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]1*(0*1)=\\1*(0+0\cdot1)=\\1*0=\\1+1\cdot 0=\\
1[/tex3]
Como [tex3]1\ne2[/tex3]
, temos que [tex3](1*0)*1\ne1*(0*1)[/tex3]
, e portanto [tex3]*[/tex3]
não é associativa.
Agora considere:
[tex3]1*0=1+1\cdot0=1[/tex3]
E também:
[tex3]0*1=0+0\cdot 1=0[/tex3]
Como [tex3]1\ne0[/tex3]
, temos que [tex3]1*0\ne0*1[/tex3]
, e portanto a operação [tex3]*[/tex3]
não é comutativa.
Espero ter ajudado.