Círculo tangente a outros dois círculos tangentes
Enviado: 22 Jun 2021, 19:44
São dados os círculos [tex3]c_0[/tex3]
e [tex3]c_1[/tex3]
tangentes interiormente em [tex3]A[/tex3]
e dado o círculo [tex3]c_2[/tex3]
, que é tangente a ambos simultaneamente. Sendo [tex3]I[/tex3]
o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3]
e [tex3]c_1[/tex3]
, tem-se sempre que o círculo [tex3]c_3 = \odot(I,IA)[/tex3]
é ortogonal a [tex3]c_2[/tex3]
.
Sendo [tex3]M = c_0 \cap c_2[/tex3]
e [tex3]J = c_1 \cap c_2[/tex3]
, o teorema de Monge-D'Alembert garante que [tex3]M,J[/tex3]
e [tex3]I[/tex3]
são colineares.
Seja [tex3]t_A[/tex3]
a reta tangente comum a [tex3]c_0[/tex3]
e [tex3]c_1[/tex3]
por [tex3]A[/tex3]
, [tex3]t_J[/tex3]
a reta tangente comum a [tex3]c_1[/tex3]
e [tex3]c_2[/tex3]
por [tex3]J[/tex3]
e [tex3]t_M[/tex3]
a reta tangente comum a [tex3]c_0[/tex3]
e [tex3]c_2[/tex3]
por [tex3]M[/tex3]
, então as três retas concorrem no ponto [tex3]B[/tex3]
, que é centro radical de [tex3]c_0,c_1[/tex3]
e [tex3]c_2[/tex3]
. Seja [tex3]c_4 = \odot(B,BA)[/tex3]
.
Então, o teorema de Pitot, garante que [tex3]J[/tex3]
e [tex3]M[/tex3]
estão em [tex3]c_4[/tex3]
.
[tex3]c_4[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_0[/tex3] , por construção, pois [tex3]B \in t_A[/tex3] .
[tex3]c_3[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_4[/tex3] , pois [tex3]B \in t_J[/tex3] .
Como [tex3]I[/tex3] está no eixo radical [tex3]MJ[/tex3] entre [tex3]c_4[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]c_3[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_2[/tex3] .
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[tex3]c_4[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_0[/tex3] , por construção, pois [tex3]B \in t_A[/tex3] .
[tex3]c_3[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_4[/tex3] , pois [tex3]B \in t_J[/tex3] .
Como [tex3]I[/tex3] está no eixo radical [tex3]MJ[/tex3] entre [tex3]c_4[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]c_3[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_2[/tex3] .