Página 1 de 1
(Peru) Trigonometria
Enviado: 29 Mai 2021, 22:39
por Deleted User 23699
Dada a figura:
- 62.png (7.76 KiB) Exibido 1057 vezes
Sabendo que BP = a e BQ = b. Então, o valor de BE em função de a e b vale:
a) (2ab)/(a+b)
b) (ab)/(a+b)
c) 2a + b
d) a+b
e) a+2b
Re: (Peru) Trigonometria
Enviado: 26 Out 2023, 19:05
por παθμ
[tex3]AB=\frac{a}{\cos(\theta)},[/tex3]
[tex3]BC=\frac{b}{\cos(\theta)}.[/tex3]
Seja [tex3]x=AE[/tex3]
e [tex3]y=EC.[/tex3]
Teorema da bissetriz interna no triângulo ABC: [tex3]x=\frac{ay}{b}.[/tex3]
(Eq. 1)
Lei dos cossenos no triângulo ABC:
[tex3](x+y)^2=\frac{a^2}{\cos^2(\theta)}+\frac{b^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{2ab}{\cos^2(\theta)}\cos(2\theta).[/tex3]
(Eq. 2)
[tex3]\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1,[/tex3]
e substituindo isso na Eq. 2:
[tex3](x+y)^2=\frac{(a+b)^2}{\cos^2(\theta)}-4ab.[/tex3]
(Eq. 3)
Substituindo (1) em (3):
[tex3]\frac{y^2(a+b)^2}{b^2}=\frac{(a+b)^2}{\cos^2(\theta)}-4ab \Longrightarrow y^2=\frac{b^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab^3}{(a+b)^2}.[/tex3]
Usando a Eq. 1, obtemos também [tex3]x^2=\frac{a^2}{\cos^2(\theta)}-\frac{4a^3b}{(a+b)^2}.[/tex3]
[tex3]x^2y^2=a^2b^2\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right)^2 \Longrightarrow xy=ab\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right).[/tex3]
Para calcular [tex3]BE,[/tex3]
usamos a fórmula:
[tex3]BE^2=AB \cdot AC-AE \cdot EC =\frac{ab}{\cos^2(\theta)}-ab\left(\frac{1}{\cos^2(\theta)}-\frac{4ab}{(a+b)^2}\right)=\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \Longrightarrow \boxed{BE=\frac{2ab}{a+b}}[/tex3]
Alternativa A