Observe
Uma solução:
Temos que
z = 9 - x² - 3y² e z = 0 ( veja o enunciado! ) , logo , 0 ≤ z ≤ 9 - x² - 3y² .
Para encontrar a região R( projeção do
parabolóide elíptico z = 9 - x² - 3y² no plano xy ), faça z = 0 ( Por quê? ) , vem;
9 - x² - 3y² = 0 ⇔ x² + 3y² = 9 [tex3]\therefore [/tex3]
R : [tex3]\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{3} = 1[/tex3]
.
Assim,
[tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{T}^{}\int\limits_{}^{} \ dV[/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{} \ dxdy\int\limits_{0}^{9-x^2 - 3y^2} \ dz[/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{} (9-x^2 - 3y^2 ) \ dxdy[/tex3]
, onde R : [tex3]\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{3} = 1[/tex3]
.
1° Transformação : ( x , y ) → ( u , v ) ( Por quê ? )
x = 3u e y = √(3).v ( observe a elipse , a região R ).
Então,
[tex3]\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{3} = 1[/tex3]
⇔
[tex3]\frac{9u^2}{9} + \frac{3v^2}{3} = 1[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
R' : u² + v² = 1.
Cálculo do jacobiano:
[tex3]|J| = \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial ( u , v )}\right| = \left| \begin{array}{rcr}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\
\end{array} \right| =\left| \begin{array}{rcr}
3 & 0 \\
0 & \sqrt{3} \\
\end{array} \right| = 3\sqrt{3}[/tex3]
.
Daí,
[tex3]dxdy = \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial ( u , v )}\right|dudv = 3\sqrt{3} \ dudv[/tex3]
.
Substituindo , fica;
[tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{} (9 - 9u^2 - 9v^2 ).3\sqrt{3} \ dudv[/tex3]
[tex3]V = 27\sqrt{3}.\int\limits_{}^{}\int\limits_{R'}^{} (1 - u^2 - v^2 ) \ dudv[/tex3]
, onde R' : u² + v² = 1.
2° Transformação : ( u , v ) → ( r , [tex3]\theta [/tex3] ) ( Por quê ? )
Então,
u = r.cos(θ) e v = r.sen(θ)
Segue que , os limites de integração da região R' é:
[tex3]R' : \begin{cases}
0 ≤ r ≤ 1 \ ( por \ quê?) \\
0 ≤ \theta ≤ \frac{π}{2} \ ( veja \ o \ enunciado !)
\end{cases}[/tex3]
e dudv = rdrdθ ( resultado de outro jacobiano,
verifique! )
Portanto,
[tex3]V = 27\sqrt{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} (1 - r^2 ) r\ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = 27\sqrt{3}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} ( r - r^3 ) \ drd\theta = \frac{27π\sqrt{3}}{8} \ unidades \ de \ volume.[/tex3]
Nota
O desenvolvimento e outras dúvidas ficará a cargo do leitor
"Esboço do sólido”:
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Obs. Eu coloquei o esboço do
sólido entre aspas , pois você terá que restringir o mesmo no
primeiro octante , em outras palavras desenhe o sólido somente no 1° octante, infelizmente não consegui desenhar o mesmo ( somente no 1° octante ) utilizando a calculadora 3D
Boa sorte e excelente estudo!