Teoria dos números
Enviado: 04 Mai 2021, 15:02
Mostre que para nenhum [tex3]n[/tex3]
, [tex3]2^n+1[/tex3]
nunca pode ser um cubo
Se for um cubo, então: [tex3]2^n+1 = x^3 [/tex3]
[tex3]2^n = (x-1) \cdot (x^2+x+1) [/tex3]
Então existe inteiro não negativo "a" tal que:
[tex3]\begin{cases}
x^2+x+1 = 2^a \\
x-1 = 2^{n-a}
\end{cases}[/tex3]
Se [tex3]n-a>0 [/tex3]
, então x é ímpar, mas então [tex3]x^2+x+1 [/tex3]
será ímpar. Contradição se [tex3]a>0 [/tex3]
.
Então, primeiro caso: [tex3]n-a>0 [/tex3]
e [tex3]a=0 [/tex3]
[tex3]x^2+x+1 = 2^0 [/tex3]
[tex3]x=0 [/tex3]
ou [tex3]x=-1 [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^n+1 = 0\rightarrow n\notin \mathbb{N} \\
2^n+1=-1 \rightarrow n\notin \mathbb{N}
\end{cases}[/tex3]
Segundo caso: [tex3]n-a = 0\rightarrow n=a [/tex3]
Nesse caso [tex3]x = 1+2^0 = 2 [/tex3]
[tex3]2^n+1 = 2^3 \rightarrow 2^n = 7\rightarrow n\notin \mathbb{N} [/tex3]