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O módulo da força exercida sobre um objeto de massa m é F(t) = F0 − kt, onde F0 e k são constantes e t é o tempo.
(a) Qual é a dimensão das constantes F0 e k, no SI?
(b) Qual é a aceleração do objeto?
(c) Assumindo a condição inicial x(0) = x0 e v(0) = v0, calcule a velocidade e posição do objeto como função do tempo.
Gabarito:

Resposta

(a) N, N/s;
(b)[tex3]\frac{1}{m}[/tex3] (F0 − kt);
(c) v0 +[tex3]\frac{F0}{m}[/tex3] t −[tex3]\frac{kt^{2}}{2m}[/tex3] ; x0 + v0t +[tex3]\frac{F0t^{2}}{2m} - \frac{kt^{2}}{6m}[/tex3]

(a) a resposta é evidente sabendo que a dimensão de força é o Newton

(b)
F = ma
a = [tex3]\frac{F}{m} = \frac{F(t)}{m}[/tex3] = [tex3]\frac{1}{m}[/tex3] ([tex3]F_{0}[/tex3] - kt)
a(t) = [tex3]\frac{1}{m}[/tex3] ([tex3]F_{0}[/tex3] - kt)

(c)
a(t) =[tex3]\frac{dv}{dt}[/tex3]
dv = a(t) dt [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\int\limits_{v_{1}}^{v(t)}dv = \int\limits_{0}^{t}a(t')dt'[/tex3]
v(t) - [tex3]v_{1} = \int\limits_{0}^{t}\frac{1}{m}(F_{0} - kt')dt'[/tex3]
v(t) - [tex3]v_{1} = \frac{1}{m}[/tex3] ([tex3]F_{0}\cdot t - \frac{kt^{2}}{2}[/tex3] )
para a fronteira v(0) = [tex3]v_{0}[/tex3] , temos que [tex3]v_{1} = v_{0}[/tex3]
v(t) = [tex3]v_{0} + \frac{1}{m}[/tex3] ([tex3]F_{0}[/tex3] t - [tex3]\frac{kt^{2}}{2}[/tex3] )

v(t) =[tex3]\frac{dx}{dt}[/tex3]
dx = v(t) dt [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\int\limits_{x_{1}}^{x(t)}dx = \int\limits_{0}^{t}v(t')dt'[/tex3]
x(t) - [tex3]x_{1} = \int\limits_{0}^{t}(v_{0} + \frac{1}{m}(F_{0}t' - \frac{kt'^{2}}{2})dt'[/tex3]
x(t) - [tex3]x_{1} = v_{0}[/tex3] t + [tex3]\frac{1}{m}[/tex3] ([tex3]\frac{F_{0}t^{2}}{2} - \frac{kt^{3}}{6})[/tex3]
para a fronteira x(0) = [tex3]x_{0}[/tex3] , temo que [tex3]x_{1} = x_{0}[/tex3]
x(t) = [tex3]x_{0} + v_{0}[/tex3] t + [tex3]\frac{1}{m}[/tex3] ([tex3]\frac{F_{0}t^{2}}{2} - \frac{kt^{3}}{6})[/tex3]

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Leis de Newton e Aplicações

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