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Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 24 Abr 2021, 06:50
por geobson
Pessoal , aprendi no livro Geometria II do Morgado, que os pés da bissetrizes internas e externas que partem de um mesmo vértice. Dividem harmonicamente o lado oposto na mesma razão dos lados adjacente.
Agora , o que eu queria saber era se existe o teorema recíproco , ou seja se eu tiver somente aquele triângulo ABD' e afirmar que D e D' dividem AC harmonicamente , então, necessariamente , posso afirmar que D E D' são pés de bissetrizes?
Posso favor , a quem poder me ajudar no esclarecimento desta dúvida , obrigado desde já.
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 24 Abr 2021, 09:14
por NigrumCibum
Acredito que não seria o suficiente para isso acontecer, no entanto, se [tex3]\angle DAD'=90°[/tex3]
, AD é bissetriz do [tex3]\angle BAC[/tex3]
(dá pra provar usando lei dos senos)
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 24 Abr 2021, 10:59
por FelipeMartin
sim, desde que você saiba de antemão que [tex3]\angle DAD' = 90^{\circ}[/tex3]
.No meu livrinho que sairá em breve eu provo isso.
Se houver conjugados harmônicos e o ângulo reto, então com certeza há as bissetrizes.
A prova é bem simples. Tá aqui:
viewtopic.php?p=259710#p259710
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 02 Jun 2021, 13:19
por geobson
Outra forma de provar isso :
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 02 Jun 2021, 14:01
por NigrumCibum
geobson, no livro EGMO também tem essa prova, mas não gosto muito dela.
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Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 02 Jun 2021, 14:04
por geobson
NigrumCibum, quem é o autor e editora desse livro?
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 02 Jun 2021, 14:06
por NigrumCibum
geobson,
O livro é Eucliden Geometry in Mathematical Olympiads do Evan Chen.
Re: Divisão harmônica pelos pés das bissetrizes( teorema recíproco ?)
Enviado: 20 Jun 2021, 01:28
por geobson
NigrumCibum, legal mesmo é essa demonstração retirada do livro ( livro que recomendo e pelo qual estou me aprofundando em conhecimentos sobre inversão , homoteita e projetiva)Introdução à Geometria plana Avançada de João Vitor de Almeida Gonçalves, vulgo Felipe Martins , como é conhecido aqui no fórum.
