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Uma mola de comprimento natural L tem suas extremidades inicialmente presas ao teto e ao chão de um vagão. A mola é, então, cortada a uma distância 0,4L do teto, resultando em duas molas menores que são presas a uma pequena massa m . Quando o vagão adquire uma aceleração [tex3]\vec{a}[/tex3]

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[tex3]\vec{a}[/tex3]

para a direita e o equilíbrio é atingido, as molas formam ângulos [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

e [tex3]\beta [/tex3]

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[tex3]\beta [/tex3]

com a vertical. Se [tex3]\cos \alpha = \sen \beta [/tex3]

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[tex3]\cos \alpha = \sen \beta [/tex3]

=0,6 , a aceleração do vagão, em função da gravidade g, vale:
A ( ) 15 g
B ( ) 16 g
C ( ) 17 g
D ( ) 18 g
E ( ) 19 g

Olá.

Geralmente fazemos cortes de molas de comprimentos iguais, observe que este não é o caso da questão, porém, podemos imaginar a mola sendo cortada em 5 pedaços, e desses 5 pedaços, 2 ficam na parte de cima, 3 ficam na parte de baixo, observe:
Seja [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

a constante elástica de cada mola de comprimento [tex3]0,2L[/tex3]

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[tex3]0,2L[/tex3]

, [tex3]K_1[/tex3]

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[tex3]K_1[/tex3]

a constante elástica da mola de comprimento [tex3]0,4L[/tex3]

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[tex3]0,4L[/tex3]

e [tex3]K_2[/tex3]

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[tex3]K_2[/tex3]

a constante elástica da mola de comprimento.
Observe que para K_1 temos:
[tex3]\dfrac{1}{K} + \dfrac{1}{K} = \dfrac{1}{K_1} \Rightarrow K_1 = \dfrac{K}{2}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{1}{K} + \dfrac{1}{K} = \dfrac{1}{K_1} \Rightarrow K_1 = \dfrac{K}{2}[/tex3]

Analogamente:
[tex3]K_2 = \dfrac{K}{3}[/tex3]

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[tex3]K_2 = \dfrac{K}{3}[/tex3]

Observe nesta imagem que [tex3]\Delta x_1 = \Delta x_2 = 0,2L[/tex3]

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[tex3]\Delta x_1 = \Delta x_2 = 0,2L[/tex3]

Basta fazer as condições de equilíbrio:
[tex3]K_1\Delta X_1cos\alpha = K_2\Delta X_2cos\beta + mg \Rightarrow m = \dfrac{K_1\Delta X_1cos\alpha - K_2\Delta X_2cos\beta}{g}[/tex3]

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[tex3]K_1\Delta X_1cos\alpha = K_2\Delta X_2cos\beta + mg \Rightarrow m = \dfrac{K_1\Delta X_1cos\alpha - K_2\Delta X_2cos\beta}{g}[/tex3]

[tex3]K_1\Delta X_1sen\alpha + K_2\Delta X_2sen\beta = ma \Rightarrow a = \dfrac{K_1\Delta X_1sen\alpha + K_2\Delta X_2sen\beta}{m}[/tex3]

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[tex3]K_1\Delta X_1sen\alpha + K_2\Delta X_2sen\beta = ma \Rightarrow a = \dfrac{K_1\Delta X_1sen\alpha + K_2\Delta X_2sen\beta}{m}[/tex3]

Logo, [tex3]a = g (\dfrac{K_1\Delta X_1sen\alpha + K_2\Delta X_2sen\beta}{K_1\Delta X_1cos\alpha - K_2\Delta X_2cos\beta}) = g (\dfrac{K_1sen\alpha + K_2sen\beta}{K_1cos\alpha - K_2cos\beta}) = g(\dfrac{0,5.0,8 + \dfrac{1}{3}(0,6)}{0,5(0,6) - \dfrac{1}{3}(0,8)}) = g(\dfrac{1,5.0,8 + 0,6}{1,5(0,6) - 0,8})= g(\dfrac{1,2 + 0,6}{0,9 - 0,1}) = 18g [/tex3]

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[tex3]a = g (\dfrac{K_1\Delta X_1sen\alpha + K_2\Delta X_2sen\beta}{K_1\Delta X_1cos\alpha - K_2\Delta X_2cos\beta}) = g (\dfrac{K_1sen\alpha + K_2sen\beta}{K_1cos\alpha - K_2cos\beta}) = g(\dfrac{0,5.0,8 + \dfrac{1}{3}(0,6)}{0,5(0,6) - \dfrac{1}{3}(0,8)}) = g(\dfrac{1,5.0,8 + 0,6}{1,5(0,6) - 0,8})= g(\dfrac{1,2 + 0,6}{0,9 - 0,1}) = 18g [/tex3]