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(FB) Equações e funções exponenciais
Enviado: 14 Abr 2021, 17:25
por Deleted User 23699
Resolva cada uma das equações:
a) [tex3]3^x+4^x=5^x[/tex3]
b) [tex3]5^x+12^x=13^x[/tex3]
c) [tex3]10^x+11^x+12^x=13^x+14^x[/tex3]
Re: (FB) Equações e funções exponenciais
Enviado: 14 Abr 2021, 17:36
por iammaribrg
As duas primeiras dá pra perceber que são trios pitagóricos. Essa c tem que pensar um pouco mais...
Re: (FB) Equações e funções exponenciais
Enviado: 14 Abr 2021, 17:41
por Deleted User 23699
iammaribrg
As três precisam ter a demonstração de que a igualdade só funciona para x = 2
Re: (FB) Equações e funções exponenciais
Enviado: 14 Abr 2021, 17:59
por petras
Zhadnyy,
a) Pelo último teorema de Fermat toda equação da forma,
an+bn=cn para todo n > 2 a equação não tem solução, se n for um inteiro maior do que 2 e (a,b,c) naturais (inteiros > 0).
[tex3]Testando ~x=1: 3+4=7\neq 5\\x=2:3^2+4^2=5^2\rightarrow 25=25
[/tex3]
Portanto a única solução é 2
b) mesmo processo
c)?
Re: (FB) Equações e funções exponenciais
Enviado: 15 Abr 2021, 19:20
por Ittalo25
Na c) dividindo tudo por [tex3]12^{x}[/tex3]
, o lado esquerdo é uma função decrescente enquanto o lado direito é uma função crescente
e por isso essas funções têm no máximo um ponto de intersecção. Nesse caso é trivial x=2
formalmente prova-se isso usando derivadas
e esse argumento vale para todas as alternativas, afinal:
a) divide-se tudo por [tex3]4^{x}[/tex3]
b) divide-se tudo por [tex3]12^{x}[/tex3]
OBS: O último teorema de Fermat é válido apenas para números naturais
Re: (FB) Equações e funções exponenciais
Enviado: 15 Abr 2021, 19:41
por petras
Ittalo25,
Grato pela correção