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(FB) Funções: Composta e Inversa
Enviado: 14 Abr 2021, 11:23
por Deleted User 23699
Seja [tex3]f(x)=x^2+6x+c[/tex3]
para todo x real, sendo c algum número real. Para quantos valores reais de c existem exatamente 3 raízes reais e distintas para [tex3]f(f(x))[/tex3]
?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) infinitos
Re: (FB) Funções: Composta e Inversa
Enviado: 21 Out 2023, 15:12
por παθμ
[tex3]f(f(x))=0 \Longrightarrow f(x)^2+6f(x)+c=0 \Longrightarrow f(x)=-3 +\sqrt{9-c} \; [/tex3]
(1) ou [tex3]f(x)=-3-\sqrt{9-c}.[/tex3]
(2)
Possibilidade 1: [tex3]x^2+6x+c=-3+\sqrt{9-c} \Longrightarrow x^2+6x+c+3-\sqrt{9-c}=0.[/tex3]
[tex3]\Delta _1=36-4(c+3-\sqrt{9-c})=4(6-c+\sqrt{9-c})[/tex3]
Possibilidade 2: [tex3]x^2+6x+c+3+\sqrt{9-c}=0.[/tex3]
[tex3]\Delta_2=4(6-c-\sqrt{9-c}).[/tex3]
Para que hajam 3 valores de [tex3]x[/tex3]
no total, precisamos que uma das duas possibilidades tenha 2 raízes e a outra tenha 1 raiz. Ou seja, [tex3]\Delta_1=0[/tex3]
e [tex3]\Delta_2>0[/tex3]
ou [tex3]\Delta_1>0[/tex3]
e [tex3]\Delta _2=0.[/tex3]
Para [tex3]\Delta_1=0[/tex3]
: [tex3]\sqrt{9-c}=c-6 \Longrightarrow 9-c=(c-6)^2 \Longrightarrow c^2-11c+27=0 \Longrightarrow c=\frac{11 \pm \sqrt{13}}{2}.[/tex3]
Mas nós podemos notar que [tex3]\frac{11-\sqrt{13}}{2}-6<0,[/tex3]
absurdo, pois isso faria com que [tex3]\sqrt{9-c}<0.[/tex3]
Assim, o único valor de [tex3]c[/tex3]
para o qual [tex3]\Delta_1=0[/tex3]
é [tex3]c=\frac{11+\sqrt{13}}{2}.[/tex3]
Mas nós vemos que, para [tex3]c[/tex3]
com esse valor, temos [tex3]6-c=\frac{1-\sqrt{13}}{2}<0[/tex3]
e portanto [tex3]\Delta_2<0.[/tex3]
Ou seja, não há valor de [tex3]c[/tex3]
para o qual temos simultaneamente [tex3]\Delta_1=0[/tex3]
e [tex3]\Delta_2>0.[/tex3]
Agora, vamos ver [tex3]\Delta_2=0[/tex3]
:
[tex3]\sqrt{9-c}=6-c \Longrightarrow c^2-11c+27=0.[/tex3]
Mesma equação de antes, só que agora a solução da equação irracional é [tex3]c=\frac{11-\sqrt{13}}{2}.[/tex3]
Vendo o valor de [tex3]\Delta_1[/tex3]
correspondente a esse valor de [tex3]c,[/tex3]
podemos ver que [tex3]6-c>0,[/tex3]
logo [tex3]\Delta_1>0[/tex3]
e esse valor de [tex3]c[/tex3]
satisfaz então a condição que queríamos.
Concluída a análise, o único valor de [tex3]c[/tex3]
que satisfaz as condições necessárias é [tex3]c=\frac{11-\sqrt{13}}{2}.[/tex3]
Alternativa B