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Matriz
Enviado: 13 Abr 2021, 19:05
por FISMAQUIM
Sendo k um número real, considere a matriz abaixo.
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Determine a soma dos elementos da matriz [tex3]X^{2021}[/tex3]
.
a) k - 1
b) k
c) k + 1
d) k + 2
e) 2k
Re: Matriz
Enviado: 13 Abr 2021, 19:47
por NathanMoreira
Perceba a seguinte regularidade:
[tex3]\text{X}=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)[/tex3]
[tex3]\text{X}^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right).\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)[/tex3]
[tex3]\text{X}^3=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right).\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)[/tex3]
[tex3]\text{X}^4=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right).\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)[/tex3]
Ou seja, se o expoente for par, teremos como resultado a matriz identidade e, caso o expoente for ímpar, a própria matriz [tex3]\text{X}[/tex3]
. Como no exercício ele quer a matriz [tex3]\text{X}^{2021}[/tex3]
, cujo expoente é ímpar, teremos:
[tex3]\text{X}^{2021}=\text{X}[/tex3]
[tex3]\text{X}^{2021}=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)[/tex3]
Soma dos elementos: [tex3]1+k+0-1[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{=k}}[/tex3]