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Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 18:27
por Hanon
Na figura a seguir [tex3]ABCD[/tex3]
é um quadrado, sendo [tex3]BC[/tex3]
o diâmetro da semicircunferência em destaque.
- Quadrado.png (11.43 KiB) Exibido 1448 vezes
1) Construir a semicircunferência com diâmetro em [tex3]AB[/tex3]
que seja tangente à semicircunferência azul;
2) Construir a circunferência tangente a [tex3]AD, \ DC[/tex3]
e a semicircunferência em azul;
Re: Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 19:30
por FelipeMartin
a-) Esse primeiro na real tem infinitas soluções, basta pegar um ponto [tex3]X[/tex3]
qualquer em [tex3]AB[/tex3]
, conectar com [tex3]M[/tex3]
e você pode construir um círculo tangente ao semicírculo. Vou te dar o que passa por [tex3]A[/tex3]
:
- Seja [tex3]M[/tex3]
o ponto médio de [tex3]BC[/tex3]
.
- Trace [tex3]r \parallel AB[/tex3]
por [tex3]M[/tex3]
- Seja [tex3]E[/tex3]
o ponto em [tex3]r[/tex3]
e na semicircunferência.
- Seja [tex3]E'[/tex3]
o reflexo de [tex3]E[/tex3]
em [tex3]M[/tex3]
.
- Seja [tex3]F[/tex3]
o encontro da reta [tex3]E'A[/tex3]
com a semicircunferência.
[tex3]O = MF \cap AB[/tex3]
então o círculo que você quer é [tex3]\odot(O,OA)[/tex3]
. Veja se você enxerga o porquê.
b-) esse é mais complicado, precisa de umas continhas ou apelar pra inversão ou para o problema de apolônio LLC não vejo uma forma fácil de construí-lo.
O problema de apolônio demora muito pra descrever e envolve refletir o semicírculo na diagonal DB.
Se tem uma saída simples eu não estou vendo
Re: Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 19:34
por FelipeMartin
tá, veja se esse aqui funciona:
- Seja [tex3]N[/tex3]
o ponto que divide [tex3]BC[/tex3]
na razão [tex3]2:1[/tex3]
(reflita [tex3]AD[/tex3]
em [tex3]BC[/tex3]
e depois [tex3]BC[/tex3]
em [tex3]A'D'[/tex3]
então [tex3]N=AC' \cap CB[/tex3]
)
- Seja [tex3]T[/tex3]
o ponto no semicírculo e no segmento [tex3]ND[/tex3]
- Seja [tex3]G = BT \cap DC[/tex3]
O centro do círculo que você quer é o encontro da paralela a [tex3]BC[/tex3]
por [tex3]G[/tex3]
com [tex3]MT[/tex3]
e ele passa por [tex3]G[/tex3]
Re: Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 20:37
por Hanon
Que show!!! As duas deram certo!
- Primeiro Problema.png (29.64 KiB) Exibido 1421 vezes
- Segundo Problema.png (50.8 KiB) Exibido 1421 vezes
Quero entender o prq dá certo:
No primeiro problema: Por que vc tomou o reflexo de [tex3]E[/tex3]
com relação à [tex3]M[/tex3]
? e Por que [tex3]F=AE'\cap\odot(M,MC)[/tex3]
é o ponto de tangência e [tex3]MF[/tex3]
passa pelo centro?
No segundo problema: Por que ao tomar [tex3]N[/tex3]
sobre [tex3]BC[/tex3]
na razão [tex3]2:1[/tex3]
com [tex3]T=ND\cap\odot(M,MC)[/tex3]
dá um ponto de tangência e o prolongamento de [tex3]BT[/tex3]
com [tex3]DC[/tex3]
dá outro ponto de tangência?
Qual a justificativa de ao tomar a paralela a [tex3]BC[/tex3]
por [tex3]G[/tex3]
intersecção com [tex3]MT[/tex3]
dá o centro da circunferência?
Re: Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 20:45
por FelipeMartin
A primeira é por homotetia. O ponto [tex3]E'[/tex3]
tem a reta tangente paralela a reta tangente em [tex3]A[/tex3]
no círculo que queremos, logo eles são pontos homólogos e por isso a reta conectando-os passa pelo centro de homotetia (no caso interna) entre os círculos desejados. Este centro de homotetia é o ponto de contato entre os círculos tangentes entre si, logo o ponto [tex3]F[/tex3]
é o ponto de contato entre os dois círculos.
A segunda também é por homotetia, utilizei o teorema de D'Lambert: que diz que quando temos três homotetias que quando compostas voltem a configuração original então temos que os centros dessas homotetias são colineares.
Considere o círculo [tex3]\odot(B,BC)[/tex3]
este círculo é homotético com o círculo que queremos desenhar por [tex3]D[/tex3]
(pois é o encontro das retas tangentes comuns aos círculos).
Este círculo é homotético ao círculo que corresponde ao semicírculo azul pelo ponto [tex3]N[/tex3]
pois os raios destes dois círculos estão na razão 2:1 e N está na reta que une seus centros.
Por fim o círculo correspondente ao semicírculo é homotético ao que queremos desenhar por [tex3]T[/tex3]
, seu ponto de contato. Logo, T,D e N são alinhados, e com o ponto de contato fica fácil traçar o círculo que queremos. Tem umas 3 formas diferentes de achar o centro dele eu te passei uma delas.
Re: Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 21:00
por Hanon
Muito Obrigado FelipeMartin.
Outro detalhe: determinei o ponto [tex3]N[/tex3]
usando o teorema de Tales, não conhecia essa maneira que vc fez.
Re: Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 21:06
por FelipeMartin
o teorema de Tales é a forma genérica, neste caso é possível economizar clicks no geogebra fazendo o que eu fiz. Acho que é o ponto N que você encontrou né?
Re: Quadrado - Construções com régua e compasso
Enviado: 30 Nov 2020, 21:09
por Hanon
FelipeMartin escreveu: ↑30 Nov 2020, 21:06
o teorema de Tales é a forma genérica, neste caso é possível economizar clicks no geogebra fazendo o que eu fiz.
Economiza bastante!
FelipeMartin escreveu: ↑30 Nov 2020, 21:06
Acho que é o ponto N que você encontrou né?
Exatamente! digitei errado.