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POTI - Aplicação Teorema de Wilson e Congruências
Enviado: 04 Out 2020, 10:44
por goncalves3718
Mostre que não existem inteiros não negativos [tex3]m, n[/tex3]
tais que [tex3]m! + 48 = 48(m + 1)^n[/tex3]
O que eu fiz:
.
Re: POTI - Aplicação Teorema de Wilson e Congruências
Enviado: 04 Out 2020, 20:50
por Ittalo25
Se m+1 é composto e diferente de 4, então pelo teorema de Wilson estendido: [tex3]m! \equiv 0 \mod(m+1) [/tex3]
Como n=0 não dá solução, então: [tex3]m+1 [/tex3]
divide [tex3](m+1)^n [/tex3]
, divide [tex3]m! [/tex3]
e portanto tem que dividir [tex3]48 [/tex3]
Os divisores de 48 são 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
Então m poderia ser 0,1,2,3,5,7,11,15,47
Como [tex3]m\geq 6[/tex3]
, já diminuem bastante os testes, você só precisa testar 7,11,15,47
Se m+1 é primo, então: [tex3]m! \equiv -1 \mod(m+1) [/tex3]
Ou seja, teríamos algo do tipo:
[tex3]-1+48 \equiv 0 \mod(m+1) [/tex3]
[tex3]47 \equiv 0 \mod(m+1) [/tex3]
Então m+1 divide 47, mas 47 é primo, portanto só precisa testar [tex3]m=46 [/tex3]