Demonstração — Desigualdade de Euler (geometria plana)
Enviado: 22 Jul 2020, 12:58
Sejam R o circunraio e r o inraio de um triângulo qualquer. Prove que [tex3]R\geq 2r[/tex3]
.
Prova:
Vamos usar os seguintes fatos, que devem ser previamente conhecidos pelo leitor:
Se [tex3]A,B,C[/tex3] são vértices de um triângulo, [tex3]BC=a,CA=b,AB=c,\angle BAC=α,\angle ABC=β,\angle ACB=γ[/tex3] , [tex3]S[/tex3] a sua área e [tex3]p[/tex3] o seu semiperímetro, vale que
[tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{abc}{4R}=pr[/tex3]
Agora, sejam [tex3]x=p-c, y=p-b, z=p-a[/tex3] . Note que esses três números são positivos.
Da desigualdade das médias [tex3](M.A.\geq M.G.)[/tex3] ,
[tex3]\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}\\
\frac{x+z}{2}\geq\sqrt{xz}\\
\frac{y+z}{2}\geq\sqrt{yz}[/tex3]
Multiplicando membro a membro, vem que
[tex3]\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{8}\geq\sqrt{(xyz)^2}\implies\frac{abc}8\geq (p-a)(p-b)(p-c)\implies\\
p\cdot abc\geq8p(p-a)(p-b)(p-c)\implies\\
p\cdot4R\cdot S\geq8S^2\implies pR\geq2S\implies pR\geq2pr\implies R\geq2r\tag*{}[/tex3]
[tex3]\blacksquare\tag*{}[/tex3]
Esse fato pode ser muito útil em questões de desigualdade envolvendo triângulos.
Aplicação:
Prove que se [tex3]α, β,γ[/tex3] são ângulos de um triângulo, temos que
[tex3]\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2\leq\frac18\tag*{}[/tex3]
Prova:
É conhecido (e já demonstrado aqui no fórum), que [tex3]\tg\fracα2=\frac{r}{p-a},\tg\fracβ2=\frac{r}{p-b},\tg\fracγ2=\frac{r}{p-c}.[/tex3]
Temos, assim, que
[tex3]\frac{2\sen\fracα2\sen\fracα2}{2\sen\fracα2\cos\fracα2}=\frac{r}{p-a}[/tex3]
Mas [tex3]\sen2x=2\sen x\cos x[/tex3] , além disso, pela Lei dos Senos, [tex3]\senα=\frac a{2R}[/tex3] , assim, achamos facilmente que
[tex3]\sen^2\fracα2=\frac{ar}{4R(p-a)}\\
\sen^2\fracβ2=\frac{br}{4R(p-b)}\\
\sen^2\fracγ2=\frac{cr}{4R(p-c)}\tag*{}[/tex3]
Multiplicando todas essas igualdades, vem que
[tex3](\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2)^2=\frac{abcr^3}{64R^3(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{4RSr^2pr}{64R^3S^2}=\frac{r^2}{16R^2}[/tex3]
Extraindo a raiz, lembrando sempre que todo mundo é positivo nessa história,
[tex3]\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2=\frac{r}{4R}\tag*{}[/tex3]
Da desigualdade de Euler, [tex3]R\geq2r\implies\frac{r}{4R}\leq\frac18[/tex3] .
Portanto,
[tex3]\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2\leq\frac18\tag*{}[/tex3]
[tex3]\blacksquare\tag*{}[/tex3]
Prova:
Vamos usar os seguintes fatos, que devem ser previamente conhecidos pelo leitor:
Se [tex3]A,B,C[/tex3] são vértices de um triângulo, [tex3]BC=a,CA=b,AB=c,\angle BAC=α,\angle ABC=β,\angle ACB=γ[/tex3] , [tex3]S[/tex3] a sua área e [tex3]p[/tex3] o seu semiperímetro, vale que
[tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{abc}{4R}=pr[/tex3]
Agora, sejam [tex3]x=p-c, y=p-b, z=p-a[/tex3] . Note que esses três números são positivos.
Da desigualdade das médias [tex3](M.A.\geq M.G.)[/tex3] ,
[tex3]\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}\\
\frac{x+z}{2}\geq\sqrt{xz}\\
\frac{y+z}{2}\geq\sqrt{yz}[/tex3]
Multiplicando membro a membro, vem que
[tex3]\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{8}\geq\sqrt{(xyz)^2}\implies\frac{abc}8\geq (p-a)(p-b)(p-c)\implies\\
p\cdot abc\geq8p(p-a)(p-b)(p-c)\implies\\
p\cdot4R\cdot S\geq8S^2\implies pR\geq2S\implies pR\geq2pr\implies R\geq2r\tag*{}[/tex3]
[tex3]\blacksquare\tag*{}[/tex3]
Esse fato pode ser muito útil em questões de desigualdade envolvendo triângulos.
Aplicação:
Prove que se [tex3]α, β,γ[/tex3] são ângulos de um triângulo, temos que
[tex3]\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2\leq\frac18\tag*{}[/tex3]
Prova:
É conhecido (e já demonstrado aqui no fórum), que [tex3]\tg\fracα2=\frac{r}{p-a},\tg\fracβ2=\frac{r}{p-b},\tg\fracγ2=\frac{r}{p-c}.[/tex3]
Temos, assim, que
[tex3]\frac{2\sen\fracα2\sen\fracα2}{2\sen\fracα2\cos\fracα2}=\frac{r}{p-a}[/tex3]
Mas [tex3]\sen2x=2\sen x\cos x[/tex3] , além disso, pela Lei dos Senos, [tex3]\senα=\frac a{2R}[/tex3] , assim, achamos facilmente que
[tex3]\sen^2\fracα2=\frac{ar}{4R(p-a)}\\
\sen^2\fracβ2=\frac{br}{4R(p-b)}\\
\sen^2\fracγ2=\frac{cr}{4R(p-c)}\tag*{}[/tex3]
Multiplicando todas essas igualdades, vem que
[tex3](\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2)^2=\frac{abcr^3}{64R^3(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{4RSr^2pr}{64R^3S^2}=\frac{r^2}{16R^2}[/tex3]
Extraindo a raiz, lembrando sempre que todo mundo é positivo nessa história,
[tex3]\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2=\frac{r}{4R}\tag*{}[/tex3]
Da desigualdade de Euler, [tex3]R\geq2r\implies\frac{r}{4R}\leq\frac18[/tex3] .
Portanto,
[tex3]\sen\fracα2\sen\fracβ2\sen\fracγ2\leq\frac18\tag*{}[/tex3]
[tex3]\blacksquare\tag*{}[/tex3]