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(PUC-RJ) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um segundo círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo.

a) Encontre o raio do maior círculo.
b) Encontre o raio do menor círculo.
c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois círculos.

gab1234,
Como o triângulo é equilátero, ligando um dos vértices do triângulo ao centro círculo, a reta formada será bissetriz, altura e mediana. Assim, vale que
[tex3]\frac{R}{\frac12}=\tg30°=\frac{\sqrt3}3\implies R=\frac{\sqrt3}6\tag*{}[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{\frac12}=\tg30°=\frac{\sqrt3}3\implies R=\frac{\sqrt3}6\tag*{}[/tex3]

Para achar r, ligue o centro do círculo menor a um dos pontos de tangência com os lados do triângulo. Agora, ligue o vértice de cima do triângulo ao centro do círculo menor. Teremos um triângulo retângulo, cuja hipotenusa vale [tex3]\frac{\sqrt3}6-r[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt3}6-r[/tex3]

e o cateto oposto ao ângulo de 30° vale r, assim, podemos fazer que
[tex3]r=\(\frac{\sqrt3}{6}-r\)\sen30°=\frac{\sqrt3}{12}-\frac r2\implies r=\frac{\sqrt3}{18}\tag*{}[/tex3]

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[tex3]r=\(\frac{\sqrt3}{6}-r\)\sen30°=\frac{\sqrt3}{12}-\frac r2\implies r=\frac{\sqrt3}{18}\tag*{}[/tex3]

Para achar a área pedida, ligue o centro do círculo maior ao lado esquerdo do triângulo. Teremos um triângulo retângulo, que subtraído da área de um setor de 60° do círculo menor e da metade da área do círculo menor e de uma áreazinha lá em cima vai dar a área pedida.
Como os ângulos desse triângulo são 30° e 60°, dá para gente achar todos os lados, assim, a área dele vai ser dada pelo produto dos catetos dividido por 2, ou seja, [tex3]\frac{\frac{\sqrt3}{6}\cdot\frac12}2=\frac{\sqrt3}{24}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{\sqrt3}{6}\cdot\frac12}2=\frac{\sqrt3}{24}[/tex3]

A área do setor de 60° é um sexto da área total do círculo maior, ou seja, [tex3]\frac{πR^2}6=\frac{π}{72}[/tex3]

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[tex3]\frac{πR^2}6=\frac{π}{72}[/tex3]

.
Metade da área do círculo menor vale [tex3]\frac{πr^2}2=\fracπ{216}[/tex3]

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[tex3]\frac{πr^2}2=\fracπ{216}[/tex3]

Agora, resta achar a areazinha lá em cima.
Note que ela equivale à área do triângulo retângulo que usamos para calcular r subtraída de um setor de 60° do círculo menor, ou seja, ela vale [tex3]\frac{\sqrt3}{216}-\frac{π}{648}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt3}{216}-\frac{π}{648}[/tex3]

Finalmente, essa bendita área vale
[tex3]\frac{\sqrt3}{24}-\frac{π}{72}-\fracπ{216}-\(\frac{\sqrt3}{216}-\frac{π}{648}\)=\frac{\sqrt3}{27}-\frac{11π}{648}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt3}{24}-\frac{π}{72}-\fracπ{216}-\(\frac{\sqrt3}{216}-\frac{π}{648}\)=\frac{\sqrt3}{27}-\frac{11π}{648}[/tex3]