(Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro
Enviado: 06 Jun 2020, 16:39
Esboçe um [tex3]\Delta ABC[/tex3]
PEDS-SE [tex3]OH=x[/tex3]
Trace as alturas [tex3]BM[/tex3] e [tex3]CP[/tex3]
Prolongue [tex3]HC[/tex3] até [tex3]P(Q)[/tex3] que está na circunferencia, note que [tex3]AcP=HbP=PbQ[/tex3] então [tex3]BH=BQ[/tex3] tal que [tex3]HQ=2HP=2y[/tex3]
Potencia de ponto em [tex3]H[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=HC*HQ[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=2m*2y[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=4my[/tex3]
Traçando [tex3]AO=R[/tex3] e [tex3]OD=m[/tex3] perpendicular a [tex3]AB[/tex3] , temos que pelo teorema do ortocentro, [tex3]HC=2m[/tex3] e [tex3]\Delta AOD[/tex3] ~[tex3]\Delta ACN[/tex3] PORTANTO
[tex3]\frac{m}{CN}=\frac{R}{b}[/tex3]
Aplicando pitagoras em [tex3]\Delta ACN[/tex3]
[tex3]CN²=\frac{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a²}[/tex3]
[tex3]m=\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}[/tex3] assim usando o teorema da altura temos
[tex3]y=h_c-m[/tex3]
[tex3]y=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}-\frac{2R\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ab}[/tex3]
sabemos que [tex3]\frac{abc}{4R}=\frac{c*h_c}{2}[/tex3] e [tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]
[tex3]y=h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c}[/tex3] POR FIM
[tex3]x^2=R^2-4*\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-4*\frac{1*\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{2h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3] ISSO DE MANEIRA GENERALIZADA
[tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]
[tex3]h^2_c*c²=4p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-c²h^2_c})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-c²h^2}}{h_c})[/tex3]
----------------------EXTRA------------------------
Pela reta de Euler [tex3]OH=2GO[/tex3] usando viewtopic.php?f=2&t=82990
[tex3]OH=\sqrt{\frac{2(9R²-2p²+8Rr+2r²)}{9}}=\sqrt{2(R²-\frac{(a^2+b^2+c²)}{9}}[/tex3]
qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3]
são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, [tex3]O[/tex3]
o circuncentro,[tex3]AB=c,AC=b,BC=a[/tex3]
e [tex3]H[/tex3]
o ortocentro PARTIU!!PEDS-SE [tex3]OH=x[/tex3]
Trace as alturas [tex3]BM[/tex3] e [tex3]CP[/tex3]
Prolongue [tex3]HC[/tex3] até [tex3]P(Q)[/tex3] que está na circunferencia, note que [tex3]AcP=HbP=PbQ[/tex3] então [tex3]BH=BQ[/tex3] tal que [tex3]HQ=2HP=2y[/tex3]
Potencia de ponto em [tex3]H[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=HC*HQ[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=2m*2y[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=4my[/tex3]
Traçando [tex3]AO=R[/tex3] e [tex3]OD=m[/tex3] perpendicular a [tex3]AB[/tex3] , temos que pelo teorema do ortocentro, [tex3]HC=2m[/tex3] e [tex3]\Delta AOD[/tex3] ~[tex3]\Delta ACN[/tex3] PORTANTO
[tex3]\frac{m}{CN}=\frac{R}{b}[/tex3]
Aplicando pitagoras em [tex3]\Delta ACN[/tex3]
[tex3]CN²=\frac{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a²}[/tex3]
[tex3]m=\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}[/tex3] assim usando o teorema da altura temos
[tex3]y=h_c-m[/tex3]
[tex3]y=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}-\frac{2R\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ab}[/tex3]
sabemos que [tex3]\frac{abc}{4R}=\frac{c*h_c}{2}[/tex3] e [tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]
[tex3]y=h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c}[/tex3] POR FIM
[tex3]x^2=R^2-4*\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-4*\frac{1*\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{2h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3] ISSO DE MANEIRA GENERALIZADA
[tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]
[tex3]h^2_c*c²=4p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]
[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-c²h^2_c})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-c²h^2}}{h_c})[/tex3]
----------------------EXTRA------------------------
Pela reta de Euler [tex3]OH=2GO[/tex3] usando viewtopic.php?f=2&t=82990
[tex3]OH=\sqrt{\frac{2(9R²-2p²+8Rr+2r²)}{9}}=\sqrt{2(R²-\frac{(a^2+b^2+c²)}{9}}[/tex3]