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Esboçe um triangulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3]

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[tex3]R,r[/tex3]

são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, [tex3]I[/tex3]

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[tex3]I[/tex3]

seja seu incentro, [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

o circuncentro, [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

o ponto de tangencia, em [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

, da circunferencia inscrita PARTIU!!

PEDE-SE [tex3]OI[/tex3]

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[tex3]OI[/tex3]

Prolongue [tex3]BI[/tex3]

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[tex3]BI[/tex3]

até o ponto [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

pertencente a cicunferencia, aplicando potencia de ponto em [tex3]I[/tex3]

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[tex3]I[/tex3]

[tex3]R²-x²=BI*IQ[/tex3]

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[tex3]R²-x²=BI*IQ[/tex3]

Trace [tex3]AQ[/tex3]

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[tex3]AQ[/tex3]

e temos por propriedade do incentro que [tex3]BI=AQ[/tex3]

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[tex3]BI=AQ[/tex3]

Trace [tex3]OQ=R[/tex3]

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[tex3]OQ=R[/tex3]

e [tex3]OK[/tex3]

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[tex3]OK[/tex3]

perpendicular a [tex3]AQ[/tex3]

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[tex3]AQ[/tex3]

tal que [tex3]KQ=\frac{AQ}{2}=\frac{BI}{2}[/tex3]

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[tex3]KQ=\frac{AQ}{2}=\frac{BI}{2}[/tex3]

Por fim, NOte que [tex3]\Delta IBD[/tex3]

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[tex3]\Delta IBD[/tex3]

~ [tex3]\Delta ORQ[/tex3]

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[tex3]\Delta ORQ[/tex3]

[tex3]\frac{BI}{R}=\frac{r}{KQ}[/tex3]

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[tex3]\frac{BI}{R}=\frac{r}{KQ}[/tex3]

[tex3]\frac{BI*AQ}{2}=Rr[/tex3]

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[tex3]\frac{BI*AQ}{2}=Rr[/tex3]

[tex3]BI*AQ=2Rr[/tex3]

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[tex3]BI*AQ=2Rr[/tex3]

TAL QUE ESTÁ VERIFICADO
[tex3]x=\sqrt{R²-2Rr}[/tex3]

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[tex3]x=\sqrt{R²-2Rr}[/tex3]

Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:

Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC possui lados de comprimento alfa, beta e gama.
A princípio, sabemos que a coordenada do incentro do triângulo é:
[tex3]Z_I=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+ \beta+ \gamma }[/tex3]

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[tex3]Z_I=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+ \beta+ \gamma }[/tex3]

Seja o circuncentro O nosso ponto (0,0), arbitrário para facilitar contas

Então
[tex3]OI^2=|Z_I|^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha +\beta +\gamma )^2R^2+2\frac{1}{4p^2}\sum_{cyc}^{}(\alpha \beta )a\bullet b[/tex3]

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[tex3]OI^2=|Z_I|^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha +\beta +\gamma )^2R^2+2\frac{1}{4p^2}\sum_{cyc}^{}(\alpha \beta )a\bullet b[/tex3]

Onde [tex3]a\bullet b=\left(\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}\right)[/tex3]

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[tex3]a\bullet b=\left(\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}\right)[/tex3]

é denominado produto real complexo, uma analogia com o produto escalar entre vetores.

Agora é necessário usar o lema:
[tex3]a\bullet b=R^2-\frac{\gamma ^2}{2}[/tex3]

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[tex3]a\bullet b=R^2-\frac{\gamma ^2}{2}[/tex3]

e análogos, demonstrado usando propriedades do produto real

Disso, encontramos que
[tex3]OI^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)R^2+\frac{2}{4p^2}\sum_{cyc}^{}\alpha \beta \left(R^2-\frac{\gamma ^2}{2}\right)\\
OI^2=R^2-\frac{1}{4p^2}\alpha \beta \gamma (\alpha+ \beta+ \gamma)\\
OI^2=R^2-2Rr [/tex3]

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[tex3]OI^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)R^2+\frac{2}{4p^2}\sum_{cyc}^{}\alpha \beta \left(R^2-\frac{\gamma ^2}{2}\right)\\
OI^2=R^2-\frac{1}{4p^2}\alpha \beta \gamma (\alpha+ \beta+ \gamma)\\
OI^2=R^2-2Rr [/tex3]