Função Bulgária
Enviado: 17 Fev 2020, 15:28
(Bulgária) Calcule o valor mínimo da função [tex3]f(x)=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-\sqrt{3}x+1}[/tex3]
[tex3]\sqrt2[/tex3]
Resposta
[tex3]\sqrt2[/tex3]
[tex3]x^2-\sqrt{3}x+1=(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\frac{1}{2})^2[/tex3]
Considere o ponto [tex3](x,0)[/tex3] e os pontos [tex3](\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex3] e [tex3](\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})[/tex3] . Então f é a distância do primeiro ponto aos outros dois e queremos o valor de x que minimiza esta distância.
Ora, pensando geometricamente, a menor distância entre dois pontos é uma reta. Para minimizarmos a distância do ponto [tex3](x,0)[/tex3] até os outros dois pontos, a ideia é que, ao refletirmos um dos pontos em relação a reta [tex3]y=0[/tex3] , onde está localizado o ponto a se determinar, devemos ter que o outro ponto, a reflexão e o ponto a determinar precisam estar alinhados. Geometricamente:
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A equação da reta é facilmente determinada: [tex3]y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-(2+\sqrt{3})(x-\frac{1}{2})[/tex3]
Como o ponto a determinar é da forma [tex3](x,0)[/tex3] , então basta impor [tex3]y=0[/tex3] na equação da reta.
[tex3]-\frac{\sqrt{3}}{2}=-(2+\sqrt{3})(x-\frac{1}{2}) \rightarrow x=\sqrt{3}-1[/tex3]
Substituindo o valor de x na função, chegamos na resposta [tex3]\sqrt{2}[/tex3]