Concursos Públicos ⇒ Triângulo ABC Tópico resolvido

[ANNA2013MARY]

Um topógrafo marca três pontos nas margens de um rio sendo um ponto A em uma margem do rio e os B e C na outra margem . Sabendo-Se que esses pontos formam um triângulo ABC , tal que A^CB=45° A^BC=60° e med [tex3]\overline{BC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BC}[/tex3]

=30m podemos afirmar que [tex3]\overline{AB}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}[/tex3]

, em m é igual a:

Gabarito é 30 ([tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

- 1)
Obs: Esse circunflexo é acima do C e B

[rodBR]

Nesse triângulo vc tem dois ângulos, consequentemente, têm os três ângulos, e também é dado um lado e é pedido um outro lado, então basta aplicar Lei dos Senos.


Se não conseguir é só chamar q faço.

[ANNA2013MARY]

Meu desenvolvimento n bate de jeito nenhum com o gabarito... n sei onde eu erro.

[rodBR]

Talvez vc tenha aplicado a Lei dos senos de maneira equivocada. Lembre que o ângulo oposto a [tex3]30 \ m[/tex3]

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[tex3]30 \ m[/tex3]

é [tex3]75^{\circ}[/tex3]

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[tex3]75^{\circ}[/tex3]

e não [tex3]60^{\circ}[/tex3]

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[tex3]60^{\circ}[/tex3]

.

Feito essas considerações, veja a solução:

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[tex3]\frac{AB}{\sen(45°)}=\frac{30}{\sen(75°)}\\
AB=\frac{30\cdot \sen(45°)}{\sen(75°)}\\
AB=\frac{30\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\
AB=\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\
AB=15\sqrt{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\
AB=\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\
[/tex3]

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[tex3]\frac{AB}{\sen(45°)}=\frac{30}{\sen(75°)}\\
AB=\frac{30\cdot \sen(45°)}{\sen(75°)}\\
AB=\frac{30\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\
AB=\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\
AB=15\sqrt{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\
AB=\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\
[/tex3]

Racionalizando:
[tex3]AB=\frac{60\sqrt{2}\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\\
AB=\frac{60\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})}{6-2}\\
AB=\frac{60\cdot(\sqrt{2\cdot6}-\sqrt{4})}{4}\\
AB=15\cdot(\sqrt{12}-2)\\
AB=15\cdot(\sqrt{4\cdot3}-2)\\
AB=15\cdot(2\sqrt{3}-2)\\
AB=15\cdot[2\cdot(\sqrt{3}-1)]\\
\boxed{\boxed{AB=30\cdot(\sqrt{3}-1)\ m}}[/tex3]

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[tex3]AB=\frac{60\sqrt{2}\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\\
AB=\frac{60\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})}{6-2}\\
AB=\frac{60\cdot(\sqrt{2\cdot6}-\sqrt{4})}{4}\\
AB=15\cdot(\sqrt{12}-2)\\
AB=15\cdot(\sqrt{4\cdot3}-2)\\
AB=15\cdot(2\sqrt{3}-2)\\
AB=15\cdot[2\cdot(\sqrt{3}-1)]\\
\boxed{\boxed{AB=30\cdot(\sqrt{3}-1)\ m}}[/tex3]

Obs.:
[tex3]\begin{cases}\sen(30^{\circ})=\frac{1}{2}\\\sen(45^{\circ})=\cos(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\sen(30^{\circ})=\frac{1}{2}\\\sen(45^{\circ})=\cos(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}[/tex3]

Assim, usando o seno da soma: [tex3]\sen(a+b)=\sen(a)\cdot\cos(b)+\sen(b)\cdot\cos(a)[/tex3]

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[tex3]\sen(a+b)=\sen(a)\cdot\cos(b)+\sen(b)\cdot\cos(a)[/tex3]

. Usando isso, vem:
[tex3]\sen(75°)=\sen(45°+30°)\\
\sen(75°)=\sen(45°)\cdot\cos(30°)+\sen(30°)\cdot\cos(45°)\\
\sen(75°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sen(75°)=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sen(75°)=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\boxed{\sen(75°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}[/tex3]

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[tex3]\sen(75°)=\sen(45°+30°)\\
\sen(75°)=\sen(45°)\cdot\cos(30°)+\sen(30°)\cdot\cos(45°)\\
\sen(75°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sen(75°)=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sen(75°)=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\boxed{\sen(75°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}[/tex3]

att>>rodBR

[rodBR]

Ficou muito grande a solução, pois tentei não omitir nenhum passo na solução, até mesmo os mais simples.

Abraços...

[ANNA2013MARY]

Muito obg ... achei meu erro era no ângulo oposto.
Mais agora ficou claro. Valeu

[caju]

Olá ANNA2013MARY.

É muito importante marcar a solução como aceita depois de recebê-la a contento. Isso ajuda a manter o fórum organizado e é uma forma bastante legal de agradecer à pessoa que investiu tempo para ajudá-la Todos saem ganhando

Basta você apertar o botão com o tick verde que tem na mensagem que respondeu sua dúvida

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Grande abraço,
Prof. Caju