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(POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Olímpica
Enviado: 10 Jan 2020, 19:47
por goncalves3718
Prove que um pentágono convexo tem três diagonais que são lados de um triângulo.
Re: (POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Olímpica
Enviado: 14 Jan 2020, 14:51
por deOliveira
Basta que o maior lado seja menor que a soma dos outros dois lados, para provarmos que a figura é de fato um triângulo. Logo, suponhamos que a maior diagonal do pentágono [tex3]ABCDE[/tex3]
seja [tex3]AD[/tex3]
.
Analisando o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
:
[tex3]AC+BD>AD+BC[/tex3]
Note que [tex3]AD+BC> AD[/tex3]
Logo:
[tex3]AC+BD>AD+BC>AD[/tex3]
[tex3]AD<AC+BD[/tex3]
Portanto, está provada a desigualdade triangular para a maior diagonal. Então [tex3]AD,AC[/tex3]
e [tex3]BD[/tex3]
são lados de um triângulo.