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Todas as faces de 27 cubinhos idênticos de aresta a são pintadas de branco. Em seguida, eles são organizados de modo a formarem, juntos, um cubo maior, de aresta 3a. Uma vez constituído o maior cubo, suas faces são pintadas de preto. Finalmente, o cubo maior é novamente desmontado, e as faces dos cubinhos tornam-se todas visíveis.
Ao todo, quantas faces de cubinhos de aresta a continuaram na cor branca?

Resposta

108

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Repare o esquema que montei.

As faces em vermelho, em verde e em azul são as que foram pintadas depois que o cubo de aresta [tex3]3a[/tex3] foi montado. Se considerarmos que cada cubo pequeno da imagem mede [tex3]a[/tex3] , teremos, na verdade, um cubo de aresta [tex3]4a[/tex3] , mas perceba que, se [tex3]n[/tex3] é o número de cubinhos que compõe a aresta do cubo maior, então:

Sempre existirão 8 cubos com 3 faces pintadas (destacadas em vermelho).

Sempre existirão 12(n-2) cubos com 2 faces pintadas (destacadas em verde).

Sempre existirão 6(n-2)^2 cubos com 1 face pintada (destacadas em azul).

Dessa forma, teremos, no total [tex3]8\cdot3+12(n-2)\cdot2+6(n-2)^2=6n^2[/tex3] faces pintadas.

No nosso caso, [tex3]n=3[/tex3] e, portanto, teremos [tex3]6\cdot3^2=54[/tex3] faces pintadas de preto.

27 cubos possuem [tex3]27\cdot6=162[/tex3] faces. Se 54 foram pintadas de preto, sobram [tex3]162-54=108[/tex3] pintadas de branco.

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Problema dos cubos

Problema dos cubos

Re: Problema dos cubos