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Área do triângulo
Enviado: 15 Set 2019, 18:36
por edenialopes
Na figura, AB=AC e DE É Diâmetro do semicírculo . Determine a área de ABC:
Re: Área do triângulo
Enviado: 15 Set 2019, 20:52
por Auto Excluído (ID:12031)
Seja [tex3]K[/tex3]
o ponto de encontro do lado [tex3]AC[/tex3]
com o semicírculo desenhado.
note que, como [tex3]DE[/tex3]
é diâmetro, então [tex3]\angle DKE = 90[/tex3]
pois enxerga um arco de 180º (seria a outra metade do círculo que não foi desenhada.
Logo [tex3]DK = R \sqrt2[/tex3]
onde [tex3]2R = DE[/tex3]
agora faça lei dos cossenos no triângulo [tex3]\Delta DKC[/tex3]
:
[tex3]KC^2 = DC^2 + DK^2 - 2DC \cdot DK \cdot \cos(45)[/tex3]
logo:
[tex3]13^2 = 7^2 + 2R^2 - 2R \cdot 7 \iff 120 = 2R^2 - 14R \iff 60 = R^2 - 7R[/tex3]
de onde [tex3]R=-5[/tex3]
(absurdo) ou [tex3]R = 12[/tex3]
seja [tex3]O[/tex3]
o centro do círculo, olhe o triângulo retângulo [tex3]\Delta CKO[/tex3]
:
[tex3]\cos (\angle OCK) = \frac{5}{13} \implies \tg(\angle OCK) = \frac{12}{5}[/tex3]
Seja [tex3]T[/tex3]
o ponto de tangência do lado [tex3]AB[/tex3]
com o semi-círculo:
[tex3]\Delta OTB[/tex3]
é congruente ao [tex3]\Delta CKO[/tex3]
ambos retângulos de mesmo cateto e ângulos.
Logo [tex3]OB = CK = 13[/tex3]
logo a base [tex3]BC[/tex3]
do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3]
é: [tex3]CO+OB = 5+13=18[/tex3]
temos a base, temos a tangente dos ângulos da base então:
[tex3]S = \frac{BC \cdot h}2 = (\frac{BC}2)^2 \cdot \tg(\angle OCK) = 81 \cdot \frac{12}5[/tex3]
acho que é isso
Re: Área do triângulo
Enviado: 15 Set 2019, 21:34
por edenialopes
Obrigada, muito bem explicado!