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Álgebra Linear 1 - Orientação de base
Enviado: 16 Abr 2019, 20:14
por kagenizio
Suponha que o conjunto ordenado {[tex3]\vec{u},\vec{v},\vec{w}[/tex3]
} seja uma base positiva. Determinar as relações entre os números reais
a, b, c, para que o conjunto ordenado {[tex3]a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}[/tex3]
} seja uma base positiva.
Re: Álgebra Linear 1 - Orientação de base
Enviado: 16 Abr 2019, 21:39
por Planck
Olá kagenizio,
Podemos transformar [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}[/tex3]
em um determinante:
[tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}= \det
\left[ \begin{array}{ccc}
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v \\
x_w & y_w & z_w\end{array} \right][/tex3]
[tex3]\det A= (x_u y_v z_w + y_u z_v x_w + z_u x_v y_w)-(x_u z_v y_w + y_u x_v z_w + z_u y_v x_w)[/tex3]
[tex3]\det A = x_u y_v z_w + y_u z_v x_w + z_u x_v y_w - x_u z_v y_w - y_u x_v z_w - z_u y_v x_w)[/tex3]
Para [tex3]\{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\}:[/tex3]
[tex3]\{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\}= \det
\left[ \begin{array}{ccc}
ax_u & ay_u & az_u \\
bx_v & by_v & bz_v \\
cx_w & cy_w & cz_w\end{array} \right][/tex3]
[tex3]\det B = (abc \,x_u y_v z_w + abc \,y_u z_v x_w + abc \,z_u x_v y_w)-(abc \,x_u z_v y_w + abc \, y_u x_v z_w + abc \,z_u y_v x_w)[/tex3]
[tex3]\det B= abc \,x_u y_v z_w + abc \,y_u z_v x_w + abc \,z_u x_v y_w - abc \,x_u z_v y_w - abc \, y_u x_v z_w - abc \,z_u y_v x_w[/tex3]
[tex3]\det B= abc \cdot \det A[/tex3]
Se:
[tex3]\det A[/tex3]
é positivo, como foi garantido, para [tex3]\det B[/tex3]
ser positivo:
[tex3]abc >0[/tex3]
Acredito que isso seja a demonstração de uma propriedade, válida quando a base é positiva, que diz:
[tex3]\boxed{\{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\}=abc \cdot \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}}[/tex3]