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Em tempos que precediam o relógio, Galileu Galilei utilizou um plano inclinado que contém um conjunto de 5 sinos
distantes entre si de tal forma que, quando uma esfera é abandonada do alto do plano, a uma distância de 10 cm
do primeiro sino, o som produzido pelo impacto dela com cada um dos sinos consecutivos tem o mesmo intervalo
de tempo. Considerando que a altura da base ao ponto de lançamento é de 1,5 m e que o comprimento horizontal
do plano vale 2 m, as distâncias consecutivas entre os sinos, em cm, são respectivamente:
(Considere os efeitos de rotação da esfera desprezíveis.)
A) 30, 60, 90 e 120
B) 10, 10, 10 e 10
C) 10, 20, 30 e 40
D) 30, 50, 70 e 90
E) 30, 40, 80 e 90

Resposta

D

Olá Luu,

Esse exercício é uma clássica aplicação da sequência de Galileu. Como a bolinha cai sem atrito, podemos considerar uma queda livre. Com isso, podemos afirmar que o móvel vai percorrer espaços na sequência dos números ímpares, isto é:

[tex3]d, \;3\cdot d, \;5\cdot d, \;7 \cdot d,\; \dotsb,\; (2 \cdot n-1) \cdot d[/tex3]

Se:

[tex3]d=10 [cm][/tex3]

Logo, as distâncias seguintes serão:

[tex3]30, \; 50, \; 70, \;\dotsb, \;(2n-1) \cdot 10[/tex3]

Aprofundamento: https://www.youtube.com/watch?v=zD00VoxH2Bc

Planck, não queria que você refizesse, só me dissesse se há outro meio de resolver essa questão, pois ele deu os lados do triângulo, ou seja, estaria cobrando outra forma também...

eumarccoss escreveu: ↑22 Mai 2019, 19:49 Planck, não queria que você refizesse, só me dissesse se há outro meio de resolver essa questão, pois ele deu os lados do triângulo, ou seja, estaria cobrando outra forma também...

Há outra maneira. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que a hipotenusa vale [tex3]2,5 \; [m][/tex3] . A esfera precisou percorrer [tex3]0,1 \; [m][/tex3] para atingir o primeiro sino. Por semelhança de triângulos, podemos descobrir a altura do primeiro sino:

[tex3]\frac{2,5}{1,5} = \frac{2,4}{h_{sino,1}}[/tex3]

[tex3]h_{sino,1} = 1,44[/tex3]

Podemos aplicar a função horária dos espaços e descobrir o tempo para atingir essa altura:

[tex3]h_{sino,1} = h_{total} + 5 \cdot t^2[/tex3]

Vamos descobrir o tempo para percorrer os [tex3]0,06 \; [m][/tex3] de diferença entre as alturas:

[tex3]0,06 = 5 \cdot t^2[/tex3]

[tex3]t = \frac{\sqrt{30}}{50}[/tex3]

Agora, é preciso atentar a um fato importante do enunciado:

o som produzido pelo impacto dela com cada um dos sinos consecutivos tem o mesmo intervalo
de tempo

Logo, para chegar no segundo sino, demorou um intervalo [tex3]2t[/tex3] , para o terceiro sino, um intervalo [tex3]3t[/tex3] e assim respectivamente. Vamos descobrir os espaço entre o primeiro e o segundo sino, descobrindo primeiro a altura do segundo sino:

[tex3]h_{sino,2} = 5 \cdot (2\cdot t)^2[/tex3]

[tex3]h_{sino,2} = 0,24[/tex3]

Em relação ao solo, [tex3]1,5 - 0,24 = 1,26[/tex3]

Aplicando semelhança de triângulos:

[tex3]\frac{2,5}{1,5} = \frac{d_{sino,2}}{1,26}[/tex3]

[tex3]d_{sino,2} = 2,1[/tex3]

Vamos interpretar esse resultado. O primeiro sino está a uma distância [tex3]2,4 \; [m][/tex3] do alto do plano inclinado. O segundo sino está a uma distância [tex3]2,1 \; [m][/tex3] do alto do plano inclinado. Entre eles, há uma distância de [tex3]0,3 \; [m][/tex3] ou [tex3]30 \; [cm][/tex3] . Repetindo o mesmo raciocínio, podemos encontrar a altura e a distância do sino seguinte. No entanto, como pode ter percebido, é um modo mais demorado. A ideia por trás é semelhança de triângulo e o movimento vertical da esfera percorrendo espaços diferentes em tempos iguais.

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Mandic2018-plano inclinado, lançamento

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