Funções
Enviado: 15 Jan 2019, 18:06
Determine explicitamente uma função [tex3]f:\Re^*\rightarrow \Re[/tex3]
tal que [tex3]f(2x+1) = 3\cdot f(x)+5[/tex3]
, para todo [tex3]x\in \Re^*[/tex3]
, [tex3]f(0) = 0[/tex3]
.
[tex3]f(x) = g(x) + c[/tex3]
[tex3]g(2x+1) + c = 3g(x) +3c + 5[/tex3]
[tex3]g(2x+1) = 3g(x) + 5 + 2c[/tex3]
[tex3]c = -\frac52[/tex3]
[tex3]g(2x+1) = 3g(x)[/tex3]
[tex3]g(0) = \frac52[/tex3]
[tex3]g(1) = \frac{3\cdot5}2[/tex3]
[tex3]g(3) = \frac{3^2 \cdot 5}2[/tex3]
[tex3]g(7) = \frac{3^3 \cdot 5}2[/tex3]
como ele só pede uma, chute: [tex3]g(x) = 3^{\log_2(x+1)} \cdot \frac52[/tex3]
veja que [tex3]g(2x+1) = 3^{\log_2(2x+2)} g(0) = 3^{\log_2(x+1) +1}g(0) = 3g(x)[/tex3]
então uma possível função é [tex3]f(x) = \frac52(3^{\log_2(x+1)}-1)[/tex3]