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(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Enviado: 07 Nov 2018, 17:12
por Flavio2020
No gráfico abaixo, T é ponto de tangência, AB=5 e AC=8.Calcule [tex3]\theta [/tex3]
.
- l.PNG (7.71 KiB) Exibido 683 vezes
a)30°
b)37°
c)38°
d)39°
e)127°/2
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Enviado: 07 Nov 2018, 18:05
por Auto Excluído (ID:12031)
complete o círculo inteiro e seja [tex3]T'[/tex3]
o reflexo de [tex3]T[/tex3]
em relação ao diâmetro [tex3]AC[/tex3]
seja [tex3]A'[/tex3]
o ponto diametralmente oposto ao ponto [tex3]A[/tex3]
é óbvio que o arco [tex3]TT'[/tex3]
é o dobro do arco [tex3]TA'[/tex3]
, pois os arcos são meros reflexos em relação ao diâmetro [tex3]AC[/tex3]
(o motivo rigoroso é que TC é perpendicular ao diâmetro e então T'CA' é congruente a TCA')
mas pelo ângulo de segmento que falta na reta tangente ali o arco [tex3]TT'[/tex3]
mede [tex3]180-4\theta[/tex3]
, isso implica que o arco [tex3]TA'[/tex3]
mede [tex3]90-2\theta[/tex3]
logo [tex3]\angle CAT = 90 -2\theta \iff \angle ATC = 2\theta[/tex3]
é fácil ver que [tex3]\angle ABC = 2\theta[/tex3]
e [tex3]\angle BCA = \theta[/tex3]
lei dos senos em [tex3]\Delta ABC[/tex3]
[tex3]\frac{8}{\sen (2\theta)} = \frac{5}{\sen \theta} \iff \cos \theta = \frac 45[/tex3]
letra B