Observe
Uma solução:
O primeiro passo será normalizar o vetor u = r'( t ) , temos
r'( t ) = ( 1 , 2 , 1 ) , ou seja , [tex3]\vec{u}=(1,2,1)[/tex3]
, vem;
[tex3]\vec{u}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}[/tex3]
= √6
A norma do vetor u é √6. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário.
[tex3]\vec{v}[/tex3]
= ( 1/√6 , 2/√6 , 1/√6 )
Daí;
[tex3]v_{1}[/tex3]
= 1/√6
[tex3]v_{2}[/tex3]
= 2/√6
[tex3]v_{3}[/tex3]
= 1/√6
Devemos encontrar as derivadas parciais da função f.
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]f_{x}=\frac{(xz)'.(x^2+y^2+1)-(xz)(x^2+y^2+1)'}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Obs. Apliquei a regra da derivada do quociente em relação a "x".
Desenvolvendo, resulta;
[tex3]f_{x}=\frac{z(-x^2+y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Para fy segue o mesmo processo , só com uma diferença que será em relação a "y", resultando em;
[tex3]f_{y}=-\frac{2xyz}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Calculando fz , observando que x/( x² + y² + 1 ) é uma constante, fica;
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}.z'[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}[/tex3]
Agora, iremos achar o valor de cada derivada parcial aplicada ao ponto P( 1 , 0 , - 1 ):
[tex3]f_{x}=\frac{-1.(-1^2+0^2+1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{y}=-\frac{2.1.0.(-1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{1}{1^2+0^2+1}=\frac{1}{2}[/tex3]
Então;
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2.6}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Portanto, [tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Bons estudos!
