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Cálculo da massa de um arame delgado por integral de linha.
Enviado: 17 Mai 2018, 15:32
por Guferreira
Seja [tex3]C[/tex3]
a curva de intersecção entre as superfícies [tex3]{z}^{2}[/tex3]
=9 [tex3]x^{2}[/tex3]
+9 [tex3]y^{2}[/tex3]
e [tex3]z=6+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}[/tex3]
. Determine a massa de um arame delgado que possui o formato de [tex3]C[/tex3]
, sabendo que sua densidade linear de massa é dada por [tex3]\rho(x,y,z)=\frac{|y|+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z}[/tex3]
.
Re: Cálculo da massa de um arame delgado por integral de linha.
Enviado: 18 Mai 2018, 10:44
por fortran
Utilizando coordenadas polares:
[tex3]\begin{cases}
x=r \cos \theta \\
y=r \sen \theta \\
x^{2}+y^{2}=r^{2} \\
\end{cases}[/tex3]
As equações ficam:
[tex3]\begin{cases}
z_{1}^{2}=9r^{2} \Leftrightarrow z_{1}=3r \\
z_{2}= 6+\sqrt{4-r^{2}}\\
\end{cases}[/tex3]
A intersecção será então:
[tex3]\Rightarrow 3r=6+\sqrt{4-r^{2}}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow 3r-6=\sqrt{4-r^{2}}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow 3(r-2)=\sqrt{4-r^{2}}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow 9(r-2)^{2}=4-r^{2}[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow 5r^{2}-18r+16=0[/tex3]
Que tem como soluções [tex3]r_{1}=2[/tex3]
e [tex3]r_{2}=8/5[/tex3]
. Somente [tex3]r_{1}[/tex3]
é solução, basta ver que para [tex3]r_{2}[/tex3]
os valores de [tex3]z_{1}[/tex3]
e [tex3]z_{2}[/tex3]
não são iguais. O valor de [tex3]r_{2}[/tex3]
é uma solução "fictícia" pelo fato de termos elevado ambos os lados da equação ao quadrado (isto pode gerar soluções que não são corretas). De fato, se você parar nesta linha aqui:
[tex3]\Rightarrow 3(r-2)=\sqrt{4-r^{2}}[/tex3]
É fácil ver que [tex3]r=2[/tex3]
zera ambos os lados e é a solução da equação. Então, a superfície de intersecção de [tex3]z_{1}[/tex3]
e [tex3]z_{2}[/tex3]
é uma circunferência de raio [tex3]2[/tex3]
(teria que ser assim, já que [tex3]z_{1}[/tex3]
gera um cone e [tex3]z_{2}[/tex3]
gera uma semi-esfera... a intersecção destas superfícies é de fato uma circunferência, faça o esboço do gráfico).
Agora, o próximo passo é converter a função de densidade para coordenadas polares e em seguida integrar:
[tex3]\Rightarrow \rho = \frac{|r \sin \theta|+ z^{2}}{r^{2}+z}[/tex3]
A massa será:
[tex3]\Rightarrow M= \int \rho ds[/tex3]
E [tex3]ds[/tex3]
em coordenadas polares é [tex3]ds=rd\theta[/tex3]
. Logo:
[tex3]\Rightarrow M=\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{|r \sin \theta|+z^{2}}{r^{2}+z} \cdot r d\theta[/tex3]
Observe que só temos um diferencial em [tex3]\theta[/tex3]
, isto é porque [tex3]r[/tex3]
e [tex3]z[/tex3]
assumem valores constantes em [tex3]C[/tex3]
. Já sabemos que [tex3]r=2[/tex3]
e para achar o valor de [tex3]z[/tex3]
é só substituir em uma das equações anteriores que você obtém [tex3]z=6[/tex3]
. Logo:
[tex3]\Rightarrow M=\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{|2 \sin \theta|+36}{10} \cdot 2\ d\theta[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow M=\frac{2}{5} \int \limits_{0}^{2 \pi} |\sin \theta|d\theta +\frac{36}{5} \int \limits_{0}^{2 \pi} d\theta[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow M=\frac{2}{5} \int \limits_{0}^{\pi} \sin \theta \ d\theta - \frac{2}{5} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} \sin \theta \ d\theta + \frac{72}{5} \pi[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow M=\frac{8}{5}+\frac{72}{5} \pi[/tex3]
Você tem que quebrar a integral do módulo do seno porque a função seno é positiva no intervalo [tex3][0,\pi][/tex3]
e negativa no intervalo [tex3][\pi,2\pi][/tex3]
, daí fica com um "sinal menos" no segundo intervalo.