(Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio
Enviado: 06 Abr 2018, 22:27
Sejam a, b, c, números reais positivos distintos dois a dois tais que [tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]
. Prove que o produto [tex3](a−c)(b−c)[/tex3]
é negativo.
[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]
[tex3]a^2-c^2=ab-b^2[/tex3]
[tex3](a+c)(a-c)=b(a-b)[/tex3]
da mesma forma
[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]
[tex3]b^2-c^2=ab-a^2[/tex3]
[tex3](b+c)(b-c)=a(b-a)[/tex3]
multiplicando as duas expressões
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=-ab(b-a)^2[/tex3]
como a e b são positivos e (b-a)^2 também é positivo, pois esta ao quadrado, o lado direito da equação sempre terá um resultado negativo por causa do sinal de menos, portanto
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)<0[/tex3]
mas como a, b e c são positivos, (a+c) e (b+c) também sempre serão positivos, portanto a consequência é que
[tex3](a-c)(b-c)<0[/tex3]