vou só mostrar que o centro do círculo está sobre o eixo de simetria:
Sejam
A e
a pontos de uma parábola e H o encontro das tangentes por esses dois pontos.
F o foco da parábola. f a sua diretriz.
B e
b pés das perpendiculares à diretriz f da parábola por
A e
a.
Então [tex3]\angle AFH = \angle aFH[/tex3]
- parabola1.png (47.71 KiB) Exibido 2153 vezes
note que os triângulos [tex3]ABH[/tex3]
e [tex3]AFH[/tex3]
são congruentes, pois a tangente em
A é bissetriz de [tex3]\angle BAF[/tex3]
e [tex3]BA = AF[/tex3]
logo [tex3]HB = HF = Hb[/tex3]
logo triângulo [tex3]HBb[/tex3]
é isósceles, de onde [tex3]\angle AFH = \angle ABH = \angle abH = \angle aFH[/tex3]
agora trace [tex3]HD[/tex3]
e [tex3]HE[/tex3]
perpendiculares às retas [tex3]AF[/tex3]
e [tex3]aF[/tex3]
- parabola2.png (51.77 KiB) Exibido 2153 vezes
os triângulos [tex3]HFD[/tex3]
e [tex3]HFE[/tex3]
são congruentes pois [tex3]\angle HFD = \angle HFa - \angle aFD = \angle AFH - \angle AFE = \angle HFE[/tex3]
. Logo [tex3]HD = HE[/tex3]
.
repare que no caso do círculo tangente à parábola temos [tex3]HA = Ha[/tex3]
pois são tangentes ao círculo também.
Isso implica triângulo [tex3]HDA[/tex3]
congruente a [tex3]HEa[/tex3]
de onde [tex3]AF = aF[/tex3]
portanto [tex3]\angle AHF = \angle aHF [/tex3]
e isso implica que o HF é perpendicular à diretriz (trace a perpendicular à diretriz por H sendo X o pé dessa perpendicular é fácil ver que [tex3]\angle AHX = \angle aHF[/tex3]
), como passa por F então HF é o eixo de simetria da parábola e também é mediatriz de Aa.