Inequação Modular - EsPCEx
Enviado: 02 Jan 2018, 13:58
O conjunto solução da inequação
|x - 1| - |x| + |2x + 3| > 2x + 2 é :
gab: x<1
|x - 1| - |x| + |2x + 3| > 2x + 2 é :
gab: x<1
[tex3]|x-1|-|x|+|2x+3|>2x+2[/tex3]
[tex3]|x-1|=\begin{cases}
x-1\rightarrow x>1 \\
0\rightarrow x=1\\
-x+1\rightarrow x<1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]|x|=\begin{cases}
x\rightarrow x>0\\
0\rightarrow x=0 \\
-x\rightarrow x<0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]|2x+3|=\begin{cases}
2x+3\rightarrow x>-\frac{3}{2}\\
0\rightarrow x=-\frac{3}{2} \\
-2x-3\rightarrow x<-\frac{3}{2}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(I)}[/tex3]
Para o caso de [tex3]x>1[/tex3], temos
[tex3]|x-1|=x-1\\ |x|=x\\|2x+3|=2x+3[/tex3]
Substituindo
[tex3]x-1-x+2x+3>2x+2\Rightarrow 2x+2>2x+2\Rightarrow \boxed{x>x\ \rightarrow absurdo}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(II)}[/tex3]
Para o caso de [tex3]x=1[/tex3], temos
[tex3]|x-1|=0\\ |x|=x\\|2x+3|=2x+3[/tex3]
Substituindo
[tex3]0-x+2x+3>2x+2\Rightarrow x+3>2x+2\Rightarrow -x>-1\Rightarrow \boxed{x<1\ \rightarrow impossivel,\ pois\ x=1}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(III)}[/tex3]
Para o caso de [tex3]0<x<1[/tex3], temos
[tex3]|x-1|=-x+1\\ |x|=x\\|2x+3|=2x+3[/tex3]
Substituindo
[tex3]-x+1+x+2x+3>2x+2\Rightarrow 2x+4>2x+2\Rightarrow \boxed{4>2\rightarrow\ \color{green}ok}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(IV)}[/tex3]
Para o caso de [tex3]x=0[/tex3], temos
[tex3]|x-1|=-x+1\\ |x|=0\\|2x+3|=2x+3[/tex3]
Substituindo
[tex3]-x+1+0+2x+3>2x+2\Rightarrow x+4>2x+2\Rightarrow -x>-2\Rightarrow \boxed{x<2\rightarrow \color{green}ok}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(V)}[/tex3]
Para o caso de [tex3]-\frac{3}{2}<x<0[/tex3], temos
[tex3]|x-1|=-x+1\\ |x|=-x\\|2x+3|=2x+3[/tex3]
Substituindo
[tex3]-x+1-x+2x+3>2x+2\Rightarrow 4>2x+2\rightarrow2>2x\rightarrow1>x\Rightarrow \boxed{x<1\rightarrow \color{green}ok}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(VI)}[/tex3]
Para o caso de [tex3]x=-\frac{3}{2}[/tex3], temos
[tex3]|x-1|=-x+1\\ |x|=-x\\|2x+3|=0[/tex3]
Substituindo
[tex3]-x+1-x+0>2x+2\Rightarrow -2x+1>2x+2\rightarrow-4x>1\Rightarrow \boxed{x<-\frac{1}{4}\rightarrow \color{green}ok}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(VII)}[/tex3]
Para o caso de [tex3]x<-\frac{3}{2}[/tex3], temos
[tex3]|x-1|=-x+1\\ |x|=-x\\|2x+3|=-2x-3[/tex3]
Substituindo
[tex3]-x+1-x+-2x-3>2x+2\Rightarrow -4x-2>2x+2\Rightarrow -6x>4\Rightarrow \boxed{x<-\frac{4}{6}\rightarrow \color{green}ok}[/tex3]
Fazendo a união de todos os casos verdadeiros temos:
[tex3]\mathrm{(III)}:0<x<1[/tex3]
[tex3]\mathrm{(IV)}:x=0[/tex3]
[tex3]\mathrm{(V)}:-\frac{3}{2}<x<0[/tex3]
[tex3]\mathrm{(VI)}:x=-\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\mathrm{(VII)}:x<-\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{S=\mathrm{(III)}\cup \mathrm{(IV)}\cup \mathrm{(V)}\cup \mathrm{(VI)}\cup \mathrm{(VII)}=x<1}}[/tex3]