Olimpíadas ⇒ (Torneio das cidades) Triângulo Tópico resolvido

[Gu178]

No triângulo ABC, a bissetriz do ângulo B corta AC em D e a bissetriz de C corta AB em E. Essas bissetrizes se intersectam em O e OD=OE. Prove que BÂC=60° e que o triângulo ABC é isósceles.

[caju]

Olá Gu178,

Veja a imagem do problema:

Screen Shot 2017-08-21 at 01.30.36.png (20.81 KiB) Exibido 1963 vezes

É pedido o ângulo [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

.

Como [tex3]O[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]O[/tex3]

é a interseção de duas bissetrizes, ao ligarmos [tex3]AO[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AO[/tex3]

teremos também uma bissetriz.

É dado no enunciado que [tex3]EO = OD[/tex3]. Portanto, nos triângulos [tex3]AEO[/tex3] e [tex3]ADO[/tex3] temos dois lados iguais ([tex3]EO = OD[/tex3] e [tex3]AO[/tex3] comum) e um ângulo igual entre eles [tex3](\alpha/2)[/tex3]. Ou seja, podemos concluir que os triângulos são idênticos por LLA. Assim, temos que [tex3]AE = AD[/tex3].

Screen Shot 2017-08-21 at 01.34.26.png (24.47 KiB) Exibido 1963 vezes

Com isso, temos que o ângulo [tex3]BEO = ODC =\frac{\alpha}{2}+k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BEO = ODC =\frac{\alpha}{2}+k[/tex3]

.

Como os ângulos [tex3]BOE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BOE[/tex3]

e [tex3]COD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]COD[/tex3]

são opostos pelo vértice, eles são iguais. Assim, chegamos à conclusão que [tex3]\frac{\beta}{2}=\frac{\theta}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\beta=\theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\beta}{2}=\frac{\theta}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\beta=\theta}[/tex3]

, pois os triângulos [tex3]BOE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BOE[/tex3]

e [tex3]COD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]COD[/tex3]

possuem dois ângulos internos iguais, então o terceiro também será.

Ou seja, o triângulo é isósceles.

Agora, provar que [tex3]BAC=60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BAC=60^\circ[/tex3]

acho que não dá não. Pois, com essas informações do enunciado, qualquer triângulo isósceles vale, não precisa ser necessariamente [tex3]BAC=60^\circ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BAC=60^\circ[/tex3]

.

Não está faltando dados no enunciado?

Grande abraço,
Prof. Caju

[Gu178]

Muito obrigado mestre Caju. O Enunciado está assim mesmo.

[undefinied3]

Caju, esse caso de congruencia está certo? Só conheço LAL, ALA, LLL e LAAo, mas LLA me parece estranho, porque o angulo em questao nao é o delimitado pelos dois lados iguais mas sim um angulo oposto.

[caju]

Olá undefinied3, você tem razão.

LLA não gera congruência pois tem duas possibilidades. Falei besteira.

Tem que arrumar minha resolução nesse ponto. Você já matou alguma coisa? Uma hora que tiver mais tempo eu posso tentar pensar novamente nessa questão.

Grande abraço,
Prof. Caju

[caju]

Vou tentar novamente, a partir de um desenho que não seja um triângulo nem isósceles nem equilátero, para dar mais generalidade.

Screen Shot 2017-08-21 at 16.10.32.png (24.89 KiB) Exibido 1939 vezes

Como [tex3]O[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]O[/tex3]

é o encontro das bissetrizes, então é o centro do círculo inscrito de raio [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

. Assim, podemos concluir que [tex3]OH = OG = R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OH = OG = R[/tex3]

.

Assim, os triângulos [tex3]AOG[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AOG[/tex3]

e [tex3]AOH[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AOH[/tex3]

são retângulos e possuem a hipotenusa em comum e um dos ângulos agudos iguais. Portanto, podemos concluir que esses dois triângulos são idênticos.

Olhando para [tex3]OGE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OGE[/tex3]

e [tex3]OHD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OHD[/tex3]

, temos, também, dois triângulos retângulos com hipotenusas iguais ([tex3]OD=OE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OD=OE[/tex3]

) e um dos catetos iguais também ([tex3]OH=OG=R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OH=OG=R[/tex3]

). Portanto, também podemos concluir que os triângulos são idênticos. Assim, temos que os ângulos [tex3]BEO[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BEO[/tex3]

e [tex3]CDO[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CDO[/tex3]

são iguais.

Agora podemos fazer o raciocínio de antes. Como os ângulos [tex3]BOE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BOE[/tex3]

e [tex3]DOC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DOC[/tex3]

são opostos pelo vértice, podemos concluir que eles são iguais. O que nos leva aos triângulos [tex3]BEO[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BEO[/tex3]

e [tex3]CDO[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CDO[/tex3]

possuírem dois ângulos iguais, então podemos concluir que o terceiro ângulo é igual também [tex3]\(\frac{\beta}{2}=\frac{\theta}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\beta=\theta}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\frac{\beta}{2}=\frac{\theta}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\beta=\theta}\)[/tex3]

, como queríamos demonstrar!

Grande abraço,
Prof. Caju

[undefinied3]

Fiz exatamente a mesma resolução, caju, mas estava em aula e não tinha como mandar. Parece que provar o 60 graus realmente não é possível só com esses dados.

[Gu178]

Obrigado mestre Caju. Foi muito esclarecedor.