Questão: A.85 LIVRO 1(Conjunto e Funções)
[tex3]1^3+2^3+3^3+...+n^3>n^4/4[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
MatheusBorges
- Mensagens: 2047
- Registrado em: 16 Jul 2017, 10:25
- Última visita: 05-04-24
- Agradeceu: 434 vezes
- Agradeceram: 871 vezes
Ago 2017
07
13:39
Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi
Editado pela última vez por caju em 07 Ago 2017, 13:57, em um total de 1 vez.
Razão: Arrumar equação
Razão: Arrumar equação
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
-Mahatma Gandhi
-
caju
- Mensagens: 2031
- Registrado em: 19 Out 2006, 15:03
- Última visita: 20-05-24
- Localização: londrina
- Agradeceu: 804 vezes
- Agradeceram: 1501 vezes
- Contato:
Ago 2017
07
14:33
Re: Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi
Olá MafIl10,
Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF), provamos primeiro se a proposição é válida para [tex3]n=1[/tex3] :
[tex3]1^3>\frac{1^4}{4}[/tex3]
[tex3]1>\frac{1}{4}[/tex3] , esta desigualdade é verdadeira.
Ok, a proposição é válida para [tex3]n=1[/tex3] . Primeiro passo do PIF finalizado.
O segundo passo é fazer a hipótese de que a proposição vale para [tex3]k[/tex3] :
[tex3]\boxed{1^3+2^3+3^3+...+k^3>\frac{k^4}{4}}[/tex3] é válido!
O terceiro passo é tentar provar, usando a hipótese acima, que a proposição é válida para [tex3]k+1[/tex3] :
[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3\stackrel{?}{>}\frac{(k+1)^4}{4}[/tex3]
[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3\stackrel{?}{>}\frac{(k+1)^4}{4}-(k+1)^3[/tex3]
Desenvolvendo o lado direito desta desigualdade:
[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3\stackrel{?}{>}\frac{k^4}{4}-\frac{6k^2}{4}-\frac{8k}{4}-\frac{3}{4}[/tex3]
Se nós provarmos que a desigualdade acima é verdadeira, então provamos que a proposição do terceiro passo é válida e finalizamos o PIF.
Note que o lado esquerdo da desigualdade acima é exatamente a nossa hipótese. Ou seja, o lado esquerdo da desigualdade é maior que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] . E o lado direito é menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] , pois pegamos o [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] e diminuímos valores positivos, tornando-o menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] .
Se temos algo maior que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] do lado esquerdo, e algo menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] do lado direito, então podemos garantir que o lado esquerdo É maior que o lado direito da desigualdade, como queríamos demonstrar.
Grande abraço,
Prof. Caju
Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF), provamos primeiro se a proposição é válida para [tex3]n=1[/tex3] :
[tex3]1^3>\frac{1^4}{4}[/tex3]
[tex3]1>\frac{1}{4}[/tex3] , esta desigualdade é verdadeira.
Ok, a proposição é válida para [tex3]n=1[/tex3] . Primeiro passo do PIF finalizado.
O segundo passo é fazer a hipótese de que a proposição vale para [tex3]k[/tex3] :
[tex3]\boxed{1^3+2^3+3^3+...+k^3>\frac{k^4}{4}}[/tex3] é válido!
O terceiro passo é tentar provar, usando a hipótese acima, que a proposição é válida para [tex3]k+1[/tex3] :
[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3\stackrel{?}{>}\frac{(k+1)^4}{4}[/tex3]
[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3\stackrel{?}{>}\frac{(k+1)^4}{4}-(k+1)^3[/tex3]
Desenvolvendo o lado direito desta desigualdade:
[tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3\stackrel{?}{>}\frac{k^4}{4}-\frac{6k^2}{4}-\frac{8k}{4}-\frac{3}{4}[/tex3]
Se nós provarmos que a desigualdade acima é verdadeira, então provamos que a proposição do terceiro passo é válida e finalizamos o PIF.
Note que o lado esquerdo da desigualdade acima é exatamente a nossa hipótese. Ou seja, o lado esquerdo da desigualdade é maior que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] . E o lado direito é menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] , pois pegamos o [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] e diminuímos valores positivos, tornando-o menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] .
Se temos algo maior que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] do lado esquerdo, e algo menor que [tex3]\frac{k^4}{4}[/tex3] do lado direito, então podemos garantir que o lado esquerdo É maior que o lado direito da desigualdade, como queríamos demonstrar.
Grande abraço,
Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
-
Ronny
- Mensagens: 436
- Registrado em: 19 Abr 2017, 22:55
- Última visita: 02-11-18
- Agradeceu: 154 vezes
- Agradeceram: 20 vezes
Ago 2017
07
14:38
Re: Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi
Ola MafIl10,
Estou vendo Inducao tambem, ehehhe. O exercicio 'e bem simples, simples deve seguir o Algoritmo de uma PIM( principio de inducao Matematica), ou seja:
* 1.O Temos que usar a base indutiva, experimentando para um determinado [tex3]n=1[/tex3] , assim teremos [tex3]1^{3}>\frac{1^3}{4}[/tex3] ( Esse argumento 'e verdadeiro !)
* 2.O Vamos avaliar a hipotese indutiva, ou seja para [tex3]n=k[/tex3] , assim teremos [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3>k^4/4[/tex3] , Considerando que esta Hipotese seja verdadeira, vamos a nossa Tese indutiva:
3.o Vamos avaliar a nossa Tese indutiva, dada por [tex3]n=k+1[/tex3] , assim teremos: [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3>(k+1)^4/4[/tex3] , e nos sabemos que por nossa Suposicao=Hipotese(dado)--> [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3>k^4/4[/tex3] , entao teremos [tex3]P(k+1): \{ k^4/4 + (k+1)^3 > \frac{(k+1)^{4}}{4} \}[/tex3] , logo concluimos que qualquer se seja o valor de [tex3]k [/tex3] natural, ele respeita essa desigualidade, tornando a nossa proposicao como verdadeira, e assim C.Q.D.
Ronaldo Miguel...
Estou vendo Inducao tambem, ehehhe. O exercicio 'e bem simples, simples deve seguir o Algoritmo de uma PIM( principio de inducao Matematica), ou seja:
* 1.O Temos que usar a base indutiva, experimentando para um determinado [tex3]n=1[/tex3] , assim teremos [tex3]1^{3}>\frac{1^3}{4}[/tex3] ( Esse argumento 'e verdadeiro !)
* 2.O Vamos avaliar a hipotese indutiva, ou seja para [tex3]n=k[/tex3] , assim teremos [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3>k^4/4[/tex3] , Considerando que esta Hipotese seja verdadeira, vamos a nossa Tese indutiva:
3.o Vamos avaliar a nossa Tese indutiva, dada por [tex3]n=k+1[/tex3] , assim teremos: [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3>(k+1)^4/4[/tex3] , e nos sabemos que por nossa Suposicao=Hipotese(dado)--> [tex3]1^3+2^3+3^3+...+k^3>k^4/4[/tex3] , entao teremos [tex3]P(k+1): \{ k^4/4 + (k+1)^3 > \frac{(k+1)^{4}}{4} \}[/tex3] , logo concluimos que qualquer se seja o valor de [tex3]k [/tex3] natural, ele respeita essa desigualidade, tornando a nossa proposicao como verdadeira, e assim C.Q.D.
Ronaldo Miguel...
Editado pela última vez por LucasPinafi em 07 Ago 2017, 14:42, em um total de 1 vez.
-
LucasPinafi
- Mensagens: 1765
- Registrado em: 07 Dez 2014, 00:08
- Última visita: 04-05-24
- Agradeceu: 301 vezes
- Agradeceram: 1091 vezes
Ago 2017
07
14:39
Re: Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi
1- Para n =1 é verdadeiro
2- Suponha que seja para n =k: [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 +\cdots + k^3 > k^4/4 [/tex3]
3- Então, será verdadeira para n = k+1: [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 > (k+1)^4/4 [/tex3]
Subtraindo as duas últimas equações, [tex3](k+1)^3 > \frac 1 4 [(k+1)^4 - k^4] [/tex3]
[tex3]4(k^3 + 3k^2 + 3k +1)> 4k^3 +6k^2 +4 k + 1 \therefore 6k^2 +8k+3>0 [/tex3]
Seja [tex3]6x^2 + 8x + 3 =0 \Longrightarrow \Delta = 64- 72< 0 [/tex3]
o que mostra que [tex3]6k^2 + 8k+3>0[/tex3] . Todas essas passagens são reversíveis, então chegamos em [tex3]1^3 + 2^3 +\cdots + k^3 +(k+1)^3 >
(k+1)^4/4[/tex3] , como queríamos mostrar.
Pelo P.I.F. segue que a desigualdade é verdadeira para todo n natural maior ou igual a 1.
2- Suponha que seja para n =k: [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 +\cdots + k^3 > k^4/4 [/tex3]
3- Então, será verdadeira para n = k+1: [tex3]1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 > (k+1)^4/4 [/tex3]
Subtraindo as duas últimas equações, [tex3](k+1)^3 > \frac 1 4 [(k+1)^4 - k^4] [/tex3]
[tex3]4(k^3 + 3k^2 + 3k +1)> 4k^3 +6k^2 +4 k + 1 \therefore 6k^2 +8k+3>0 [/tex3]
Seja [tex3]6x^2 + 8x + 3 =0 \Longrightarrow \Delta = 64- 72< 0 [/tex3]
o que mostra que [tex3]6k^2 + 8k+3>0[/tex3] . Todas essas passagens são reversíveis, então chegamos em [tex3]1^3 + 2^3 +\cdots + k^3 +(k+1)^3 >
(k+1)^4/4[/tex3] , como queríamos mostrar.
Pelo P.I.F. segue que a desigualdade é verdadeira para todo n natural maior ou igual a 1.
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
-
MatheusBorges
- Mensagens: 2047
- Registrado em: 16 Jul 2017, 10:25
- Última visita: 05-04-24
- Agradeceu: 434 vezes
- Agradeceram: 871 vezes
Ago 2017
07
15:14
Re: Princípio da Indução Finita, Gelson Iezzi
n formas de resolver, interessante... muito obrigado pessoal!!!
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
-Mahatma Gandhi
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 4 Respostas
- 1195 Exibições
-
Última mensagem por Andre13000
-
- 1 Respostas
- 1099 Exibições
-
Última mensagem por fabit
-
- 1 Respostas
- 548 Exibições
-
Última mensagem por jedi
-
- 2 Respostas
- 1429 Exibições
-
Última mensagem por rodBR
-
- 6 Respostas
- 1719 Exibições
-
Última mensagem por tobeornottobe
