Equação polinomial
Enviado: 04 Ago 2017, 21:24
Calcular [tex3]b-a[/tex3]
,se [tex3]\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]
é uma raiz da equação [tex3]x^{7}+ax+b=0[/tex3]
.
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
Substitua e tenha fé:
[tex3]\frac{(1+\sqrt{5})^7}{2^7}+\frac{a(1+\sqrt{5})}{2}+b=0[/tex3]
Aquilo dá pra abrir facilmente pelo binômio de newton, mas já vou deixar a resposta:
[tex3]\frac{1856+832\sqrt{5}}{128}+\frac{a}{2}+\frac{a\sqrt{5}}{2}+b=0[/tex3]
[tex3]1856+832\sqrt{5}+64a+64a\sqrt{5}+128b=0[/tex3]
Supondo a e b inteiros (não sei se dá pra resolver sem essa suposição), temos que parte irracional é zero e parte racional é 0:
[tex3]\begin{cases}
1856+64a+128b=0 \\
832+64a=0
\end{cases}[/tex3]
Daí tiramos [tex3]a=-13[/tex3]
e [tex3]b=-8[/tex3]
[tex3]b-a=-8+13=5[/tex3]