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(Farias Brito) Função Composta
Enviado: 25 Mar 2017, 15:05
por Gu178
Seja [tex3]f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex3]
uma função tal que f(x) é a soma dos algarismos de x no sistema de numeração decimal. Se [tex3]x_{0}=0[/tex3]
e, para todo natural n, [tex3]x_{x+1}=f(f(x_{n})+x_{n}+1)[/tex3]
, o valor de [tex3]x_{1992}[/tex3]
é:
Re: (Farias Brito) Função Composta
Enviado: 25 Mar 2017, 15:34
por Ittalo25
Começa usando a informação que ele deu [tex3]x_{0}=0[/tex3]
[tex3]x_{1}=f(f(x_{0})+x_{0}+1) =f(1) = 1[/tex3]
[tex3]x_{2}=f(f(x_{1})+x_{1}+1) = f(f(1)+1+1) =f(3) = 3[/tex3]
[tex3]x_{3}=f(f(x_{2})+x_{2}+1) =f(f(3)+3+1) = f(7) = 7[/tex3]
[tex3]x_{4}=f(f(x_{3})+x_{3}+1) =f(f(7)+7+1) = f(15) = 6[/tex3]
[tex3]x_{5}=f(f(x_{4})+x_{4}+1) =f(f(6)+6+1) = f(13) = 4[/tex3]
[tex3]x_{6}=f(f(x_{5})+x_{5}+1) =f(f(4)+4+1) = f(9) = 9[/tex3]
[tex3]x_{7}=f(f(x_{6})+x_{6}+1) =f(f(9)+9+1) = f(19) = 10[/tex3]
[tex3]x_{8}=f(f(x_{7})+x_{7}+1) =f(f(10)+10+1) = f(12) = 3[/tex3]
Agora como [tex3]x_{2} = x_{8}[/tex3]
o padrão vai acontecer.
Temos [tex3]x_{1} = 1[/tex3]
e os termos se repetem de seis em seis a partir do [tex3]x_{2}[/tex3]
Então para descobrir o [tex3]x_{1992}[/tex3]
fazemos;
[tex3]\frac{1992-1}{6} =331\cdot 6 + 5[/tex3]
Logo na sequencia de repetição de 6 em 6, eles é o quinto termo, assim;
[tex3]x_{1992} = x_{6} = 9[/tex3]
Re: (Farias Brito) Função Composta
Enviado: 02 Mar 2019, 12:53
por Hanon
Ittalo25 escreveu: ↑25 Mar 2017, 15:34
Agora como [tex3]x_2=x_8[/tex3]
o padrão vai acontecer.
.
O que garante isso? tem como provar?