Estude! Com Prof. Caju

Um pesquisador constata que, em um dado instante, existem 400 tartarugas da espécie A e 200 tartarugas da espécie B em uma reserva marinha. Nessa reserva, a população de tartarugas da espécie A diminui à taxa de 20% ao ano, enquanto a população da espécie B aumenta à taxa de 10%, também ao ano.

Determine, usando duas casas decimais, quanto tempo é necessário, a partir desse instante, para que as populações sejam iguais.

(Considere: log₁₀ 11 = 1,04 ; log₁₀ 2 = 0,30.)

Gabarito: 2,14 anos

Bom dia!

Para a espécie A:

[tex3]Q_A(t) = P_0 \cdot 0,8^t = 400 \cdot 0,8^t[/tex3]

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[tex3]Q_A(t) = P_0 \cdot 0,8^t = 400 \cdot 0,8^t[/tex3]

Para a espécie B:

[tex3]Q_B(t) = P_0 \cdot 1,1^t = 200 \cdot 1,1^t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q_B(t) = P_0 \cdot 1,1^t = 200 \cdot 1,1^t[/tex3]

onde t representa o tempo em anos. Assim, igualando as equações:

[tex3]400 \cdot 0,8^t = 200 \cdot 1,1^t \therefore 2 = \left( \frac{1,1}{0,8} \right)^t \therefore 2 = \left( \frac{11}{8} \right)^t \therefore \log 2 = t \cdot \left( \log \frac{11}{8} \right) \therefore t = \frac{\log 2}{\log 11 - \log 8} \therefore \\\\ t= \frac{\log 2}{\log 11 - 3\log 2} \therefore t = \frac{0,30}{1,04 - 0,90} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ t \approx 2,14 \text{ anos }}}[/tex3]

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[tex3]400 \cdot 0,8^t = 200 \cdot 1,1^t \therefore 2 = \left( \frac{1,1}{0,8} \right)^t \therefore 2 = \left( \frac{11}{8} \right)^t \therefore \log 2 = t \cdot \left( \log \frac{11}{8} \right) \therefore t = \frac{\log 2}{\log 11 - \log 8} \therefore \\\\ t= \frac{\log 2}{\log 11 - 3\log 2} \therefore t = \frac{0,30}{1,04 - 0,90} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ t \approx 2,14 \text{ anos }}}[/tex3]

Abraços,
Pedro.

¹ [tex3]\begin{cases} \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b \\ \log (a^k) = k \cdot \log a \\ 8 = 2^3 \end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases} \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b \\ \log (a^k) = k \cdot \log a \\ 8 = 2^3 \end{cases}[/tex3]