Sabendo que [tex3]2.010^{a}=67[/tex3]
e [tex3]2.010^{b}=10[/tex3]
, o valor de [tex3]201^{\frac{1-a-b}{1-b}}[/tex3]
é:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
e) 67
Ensino Médio ⇒ Regras de Expoentes Tópico resolvido
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Fev 2017
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Regras de Expoentes
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caju
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Fev 2017
27
14:40
Re: Regras de Expoentes
Olá GuiBernardo,
O objetivo desta questão é você manipular os valores fornecidos ao mesmo tempo que manipula o valor solicitado até chegar num ponto onde eles são bastante iguais. Daí é só substituir um no outro para achar a resposta. O problema é saber quais manipulações são as corretas.
Veja como eu resolvi...
Começamos manipulando o valor solicitado:
[tex3]201^{\frac{1-a-b}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{\frac{1-b-a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{\frac{1-b}{1-b}-\frac{a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{1-\frac{a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\frac{201}{201^{\frac{a}{1-b}}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(I)}}[/tex3]
Agora vamos manipular os valor fornecidos:
[tex3]2010^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(201\cdot 10)^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{a}\cdot 10^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,10^{a}=\frac{67}{201^{a}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{10=\frac{67^{\frac{1}{a}}}{201}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]
[tex3]2010^{b}=10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{b}\cdot 10^{b}=10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{b}=10^{1-b}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{10=201^{\frac{b}{1-b}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]
Já que as expressões (II) e (III) são iguais a 10, podemos igualá-las:
[tex3]\frac{67^{\frac{1}{a}}}{201}=201^{\frac{b}{1-b}}[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b}{1-b}}\cdot 201[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b}{1-b}+1}[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b+1-b}{1-b}}[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{1}{1-b}}[/tex3]
[tex3]\boxed{67=201^{\frac{a}{1-b}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(IV)}}[/tex3]
Note que esse valor encontrado em (IV) é exatamente o que aparece em (I). Substituindo (IV) em (I):
[tex3]\frac{201}{67}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{3}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
O objetivo desta questão é você manipular os valores fornecidos ao mesmo tempo que manipula o valor solicitado até chegar num ponto onde eles são bastante iguais. Daí é só substituir um no outro para achar a resposta. O problema é saber quais manipulações são as corretas.
Veja como eu resolvi...
Começamos manipulando o valor solicitado:
[tex3]201^{\frac{1-a-b}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{\frac{1-b-a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{\frac{1-b}{1-b}-\frac{a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{1-\frac{a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\frac{201}{201^{\frac{a}{1-b}}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(I)}}[/tex3]
Agora vamos manipular os valor fornecidos:
[tex3]2010^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(201\cdot 10)^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{a}\cdot 10^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,10^{a}=\frac{67}{201^{a}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{10=\frac{67^{\frac{1}{a}}}{201}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]
[tex3]2010^{b}=10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{b}\cdot 10^{b}=10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{b}=10^{1-b}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{10=201^{\frac{b}{1-b}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]
Já que as expressões (II) e (III) são iguais a 10, podemos igualá-las:
[tex3]\frac{67^{\frac{1}{a}}}{201}=201^{\frac{b}{1-b}}[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b}{1-b}}\cdot 201[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b}{1-b}+1}[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b+1-b}{1-b}}[/tex3]
[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{1}{1-b}}[/tex3]
[tex3]\boxed{67=201^{\frac{a}{1-b}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(IV)}}[/tex3]
Note que esse valor encontrado em (IV) é exatamente o que aparece em (I). Substituindo (IV) em (I):
[tex3]\frac{201}{67}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{3}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
Editado pela última vez por caju em 27 Fev 2017, 14:40, em um total de 2 vezes.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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Marcos
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Fev 2017
27
20:47
Re: Regras de Expoentes
Olá GuiBernardo e Prof. Caju.Compartilho a solução com os senhores!
Observando que [tex3]2010=2.3.5.67[/tex3] temos [tex3]201=\frac{2010}{10}=\frac{2010}{2010^b}=2010^{1-b}[/tex3] .
Logo,
[tex3]201^\frac{1-a-b}{1-b}=\left(201\right)^\frac{1-a-b}{1-b}=\left(2010^{1 \ - \ b}\right)^\frac{1-a-b}{1-b}=2010^{1-a-b}=\frac{2010}{2010^a.2010^b}=\frac{2010}{67.10}=\boxed{\boxed{3}}[/tex3] .
Resposta: [tex3]3[/tex3] .
Observando que [tex3]2010=2.3.5.67[/tex3] temos [tex3]201=\frac{2010}{10}=\frac{2010}{2010^b}=2010^{1-b}[/tex3] .
Logo,
[tex3]201^\frac{1-a-b}{1-b}=\left(201\right)^\frac{1-a-b}{1-b}=\left(2010^{1 \ - \ b}\right)^\frac{1-a-b}{1-b}=2010^{1-a-b}=\frac{2010}{2010^a.2010^b}=\frac{2010}{67.10}=\boxed{\boxed{3}}[/tex3] .
Resposta: [tex3]3[/tex3] .
Editado pela última vez por Marcos em 27 Fev 2017, 20:47, em um total de 1 vez.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
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