Circunferências Tangentes
Enviado: 15 Out 2016, 00:03
(Noruega-91) Duas circunferências são tangentes externas e tangenciam a reta L nos pontos A e B. A reta AP intersecta a outra circunferencia em C. Prove que BC è perpendicular à reta L.
[tex3]O[/tex3]
o centro da circunferência menor
[tex3]O'[/tex3]
o centro da circunferência maior
obviamente [tex3]OPO'[/tex3]
são alinhados uma vez que [tex3]P[/tex3]
é o ponto de tangencia das duas circunferências
os triângulos [tex3]AOP[/tex3]
e [tex3]CO'P[/tex3]
são semelhantes uma vez que ambos são isósceles AO=AP = r e O'C = O'P = R
e possuem ângulo [tex3]O'PC = OPA[/tex3]
já que são opostos pelo vértice
seja [tex3]\alpha = OPA[/tex3]
então [tex3]PO'C = 190 - 2\alpha[/tex3]
porém [tex3]BO'P = 2\alpha[/tex3]
logo o ângulo
[tex3]CO'B = 180 - 2\alpha + 2\alpha = 180[/tex3]
e então [tex3]C,O',B[/tex3]
estão alinhados como AB é tangente à circunferência maior então a reta BO' = CB é perpendicular à reta AB