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Resolver a equação [tex3]\sen x+\sen y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen x+\sen y=1[/tex3]

sabendo que [tex3]x+y=\frac{\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]x+y=\frac{\pi }{3}[/tex3]

.

[tex3]x+y=\frac{\pi}{3}\rightarrow x=\left(\frac{\pi}{3}-y\right)\rightarrow \sen\ x=\sen\ \left(\frac{\pi}{3}-y\right)\rightarrow \\\\\rightarrow \sen\ x=\frac{\sqrt{3}\cos\ y-\sen\ y}{2}\\\\sen\ x+sen\ y=1\rightarrow \frac{\sqrt{3}\cos\ y-\sen\ y}{2}+\sen\ y=1\rightarrow \\\\\rightarrow \sen\ y+\sqrt{3}\cos\ y=2\ \\\sen^2y+\cos^2y=1\rightarrow \begin{cases}
\sen\ y+\sqrt{3}\cos\ y=2 \\
\sen^2y+\cos^2y=1
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
\boxed {\sen\ y=\frac{1}{2}} \\\\
\cos\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}\\\\ \sen\ y=\frac{1}{2}\rightarrow \sen\ x+sen\ y=1\rightarrow \boxed {\sen\ x=\frac{1}{2}}[/tex3]

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[tex3]x+y=\frac{\pi}{3}\rightarrow x=\left(\frac{\pi}{3}-y\right)\rightarrow \sen\ x=\sen\ \left(\frac{\pi}{3}-y\right)\rightarrow \\\\\rightarrow \sen\ x=\frac{\sqrt{3}\cos\ y-\sen\ y}{2}\\\\sen\ x+sen\ y=1\rightarrow \frac{\sqrt{3}\cos\ y-\sen\ y}{2}+\sen\ y=1\rightarrow \\\\\rightarrow \sen\ y+\sqrt{3}\cos\ y=2\ \\\sen^2y+\cos^2y=1\rightarrow \begin{cases}
\sen\ y+\sqrt{3}\cos\ y=2 \\
\sen^2y+\cos^2y=1
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
\boxed {\sen\ y=\frac{1}{2}} \\\\
\cos\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}\\\\ \sen\ y=\frac{1}{2}\rightarrow \sen\ x+sen\ y=1\rightarrow \boxed {\sen\ x=\frac{1}{2}}[/tex3]

o Gabarito do livro Fundamentos da Matemática elementar para essa questão é :
[tex3]y=\frac{\pi }{6}+2k\pi [/tex3]

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[tex3]y=\frac{\pi }{6}+2k\pi [/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi }{6}-2k\pi [/tex3]

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[tex3]x=\frac{\pi }{6}-2k\pi [/tex3]

Completando a resposta do amigo Gauss