Olha, primeiro vamos calcular o "x" pra área da praça de alimentação ser máxima,
depois vamos substituir esse valor de "x" na imagem da questão, para calcularmos o perímetro da praça de alimentação
A área da praça de alimentação é dada pela área do quadrado menos a área das 4 lojas
Área do quadrado = [tex3]34^{2}[/tex3]
= 1156
Área do triângulo retângulo de lados x e x = [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
O triângulo superior esquerdo, seus catetos são 10 m e (34-x) , logo , a área se dá por [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3]
= 5(34-x)
O triângulo superior direito tem catetos 24 e 24 , área é [tex3]\frac{24^{2}}{2}[/tex3]
= 288
Triângulo inferior direito tem catetos 10 e (34-x) , mesmo caso do triângulo superior esquerdo : [tex3]\frac{10(34-x)}{2}[/tex3]
= 5(34-x)
somando as áreas dos triângulos : 5(34-x) + 5(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
10(34-x) + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
340 -10x + 288 + [tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
- 10x + 628
agora temos que diminuir isso da área do quadrado, que é
1156 - [[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3]
- 10x + 628]
ficando
-[tex3]\frac{x^{2}}{2}[/tex3] + 10x + 528 = A(x) essa é a área da praça de alimentação, que tem que ser a máxima possível
mutiplicando por 2 : -[tex3]x^{2}[/tex3]
+20x + 1056 = 2A(x)
você pode resolver de dois jeitos, tirando o delta e achando as raízes. O valor máximo dessa função, vai ser pra
x = [tex3]\frac{(x1+x2)}{2}[/tex3]
sendo x1 e x1 as raízes da equação,
poupandos cálculos, as raízes são -24 e 44, logo, o x pro valor ser máximo será [tex3]\frac{(44-24)}{2}[/tex3]
= 10
ou você pode derivar e igualar à 0, porque a derivada no ponto máximo tem valor = 0
derivando -[tex3]x^{2}[/tex3]
+20x + 1056 = 0 fica :
-2x +20 = 0
x = 10, esse é o valor x que torna a área da praça de alimentação máxima,
substituindo o x no valor da imagem da equação, o perímetro ficará assim :
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26 + 26 + 24 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
+ 10 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
= 52 + 34 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
bom, desculpa por ter ficado um pouco grande, acho que é isso, qualquer coisa me avisa, abraços !