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(UFPR) Geometria Analítica
Enviado: 05 Dez 2015, 20:28
por Gauss
No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere a circunferência [tex3]\gamma[/tex3]
de centro [tex3]C(4,3)[/tex3]
e [tex3]r= 5[/tex3]
, em que [tex3]r[/tex3]
é o raio da circunferência.
A) Encontre a equação cartesiana da circunferência.
B) Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com o eixo Oy.
C) Seja P o ponto de intersecção da circunferência com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a equação da reta que tangencia a circunferência nesse ponto P.
OBS: Não é necessário a resolução das letras A e B. Agradeço a quem me ajudar apenas na letra C.
Re: (UFPR) Geometria Analítica
Enviado: 05 Dez 2015, 20:38
por undefinied3
No momento não posso resolver, mas vou te dar uma dica. Se a reta é tangente à circunferência em um dado ponto, então o raio e essa reta formam 90 graus. Utilizando deste fato, você pode calcular a equação da reta do raio utilizando o centro e o dado ponto, encontrar o coeficiente angular, e como a reta tangente forma 90 graus com o raio, esta terá coeficiente angular oposto e inverso. Depois é só utilizar
 "y-y_0=m(x-x_0)")
com as coordenadas do ponto dado e você encontrará a equação da reta tangente.
Outra resolução, apenas por curiosidade, é por derivada. O coeficiente angular de qualquer reta tangente em um ponto
 "(x_0,y_0)")
à uma circunferência é sempre
}{(y-y_0)} "-\frac{(x-x_0)}{(y-y_0)}")
Re: (UFPR) Geometria Analítica
Enviado: 06 Dez 2015, 10:45
por Gauss
Obrigado, undefinied. Irei tentar fazer, caso eu não consiga eu posto aqui.
Re: (UFPR) Geometria Analítica
Enviado: 06 Dez 2015, 10:55
por jrneliodias
Olá, Gauss.
Se você tem uma reta genérica
e uma circunferência
^2+(y-y_0)^2=R^2 "(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2")
´, então se você resolver esse sistema:
^2+(y-y_0)^2=R^2
\end{cases} "\begin{cases}
y=ax+b \\
x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2
\end{cases}")
Substituindo o ponto dado fazendo
para que haja apenas um ponto em comum, você achará o coeficiente angular.
Espero ter ajudado. Bons estudos.
Re: (UFPR) Geometria Analítica
Enviado: 06 Dez 2015, 13:58
por Gauss
Se a circunferência intersecta o eixo Oy no ponto [tex3]P[/tex3]
, então, [tex3]P(0,k)[/tex3]
, em que k é a ordenada de intersecção da circunferência com o eixo Oy.
[tex3]P\in \gamma \rightarrow (0,k)\rightarrow x^2+y^2-8x-6y=0\\(0)^2+(k^2)-8.(0)-6.(k)\rightarrow k'=0\ (Falso)\ ou\ \boxed {k''=6}[/tex3]
Calculemos o coeficiente angular da reta correspondente ao raio utilizando os pontos [tex3]C(4,3)[/tex3]
e [tex3]P(0,6)[/tex3]
:
[tex3]m'=\frac{6-3}{0-4}\rightarrow m'=\frac{-3}{4}[/tex3]
Calculemos o coeficiente angular da reta tangente à circunferência, a qual é perpendicular a reta correspondente ao raio:
[tex3]m'.m=-1\rightarrow m=-1.\frac{-4}{3}\rightarrow m=\frac{4}{3}[/tex3]
O ponto [tex3]P(0,6)[/tex3]
pertence a reta tangente à circunferência, portanto:
[tex3]y-y_0=m(x-x_0)\\y-6=\frac{4}{3}.(x-0)\\y=\frac{4x}{3}+6[/tex3]
Penso que seja isto!