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Dados:

C:[tex3]x^{2} + (y-2)^{2} =9[/tex3]
R: y= x-5

Pedem-se:

a) a equação da reta que passa pelo centro de C e é perpendicular a r;
b) o ponto de C mais próximo de r.

Preciso de ajuda para o item b.

Resposta

a) y= -x +2
b) [tex3]\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3] ; [tex3]\frac{4-3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Desde já obrigada.

Considere na figura uma circunferência e reta genéricas:

: b1.jpg (11.55 KiB) Exibido 2358 vezes

O ponto azul $P(a,b)$ é o que você procura. Mas em termos práticos, como achá-lo? Ora, veja que ele pertence à intersecção da reta vermelha com a circunferência. Mas e daí? E daí que a reta vermelha ( $s$ ) você conhece, pois ela é perpendicular à $r$ . Por partes:

$m_r \cdot m_s = -1 \Rightarrow 1 \cdot m_s = -1 \Rightarrow \boxed{m_s = -1}$

Já sabemos que $s$ é da forma $y = -x + b$ . Como ela também passa pelo centro da circunferência, o ponto (0,2) satisfaz a equação:

$2 = -0 + b \Rightarrow \boxed{b = 2}$

Agora basta fazer a intersecção dessa reta com a circunferência. Acharemos dois valores, pois a reta toca a circunferência em dois pontos.

$\begin{cases} y = -x + 2\\ x^2 + (y-2)^2 = 9 \end{cases}$

Vou jogar a primeira na segunda, perceba que bonito:

$x^2 + (-x + 2 - 2)^2 = 9$
$x^2 + (-x)^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{2}$
$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$
Racionalizando:
$x = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$

A filtragem depende do seu esboço mental. Se a reta passa à esquerda da circunferência, o ponto a ser escolhido será o mais negativo (pois estará mais à esquerda no eixo das abcissas, ou seja, estará mais próximo da reta). Nosso caso é outro, a reta passa à direita da circunferência.

: WolframAlpha.png (6.2 KiB) Exibido 2355 vezes

Pelo mesmo raciocínio, escolhemos o mais positivo.

$\boxed{x = \frac{3\sqrt{2}}{2}}$

Substituindo na primeira equação do sistema:

$y = - \frac{3\sqrt{2}}{2} + 2$
$y = - \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{2}$
$\boxed{y = \frac{4-3\sqrt{2}}{2}}$

$\therefore P(a,b) = P(\frac{3\sqrt{2}}{2}}, \frac{4-3\sqrt{2}}{2})$

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(FUVEST) Geometria Analítica - Circunferência

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