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O conjunto solução da inequação [tex3]\frac{1}{2}^{x-3} \leq \frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}^{x-3} \leq \frac{1}{4}[/tex3]

é:

a) [5,+[tex3]\infty[/tex3]

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[tex3]\infty[/tex3]

[
b) [4,+[tex3]\infty[/tex3]

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[tex3]\infty[/tex3]

[
c) ]-[tex3]\infty[/tex3]

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[tex3]\infty[/tex3]

,5]
d) {x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

| x [tex3]\leq[/tex3]

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[tex3]\leq[/tex3]

-5}
e) {x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

| x [tex3]\geq[/tex3]

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[tex3]\geq[/tex3]

-5}

Contudo, não cheguei no resultado correto. Minha tentativa:

[tex3]\frac{1}{2}^{x-3} \leq \frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}^{x-3} \leq \frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]2^{-x+3} \leq 2^{-2}[/tex3]

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[tex3]2^{-x+3} \leq 2^{-2}[/tex3]

-x +3 [tex3]\leq[/tex3]

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[tex3]\leq[/tex3]

-2
-x [tex3]\leq[/tex3]

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[tex3]\leq[/tex3]

-5
x [tex3]\leq[/tex3]

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[tex3]\leq[/tex3]

5

Eu preciso trocar o sinal [tex3]\leq[/tex3]

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[tex3]\leq[/tex3]

para [tex3]\geq[/tex3]

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[tex3]\geq[/tex3]

quando multiplico ambos os lados por -1?

[tex3]\(\frac{1}{2}\)^{x-3}\leq \(\frac{1}{2}\)^2[/tex3]

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[tex3]\(\frac{1}{2}\)^{x-3}\leq \(\frac{1}{2}\)^2[/tex3]

Tem que inverter o sinal da inequação porque a base está entre 0 e 1 :

[tex3]x-3\geq 2[/tex3]

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[tex3]x-3\geq 2[/tex3]

[tex3]x\geq 5[/tex3]

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[tex3]x\geq 5[/tex3]

Letra a).....

As bases são fracionárias.

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a>\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a<b[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a>\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a<b[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a<\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a>b[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a<\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a>b[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a=\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a=b[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a=\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a=b[/tex3]

Assim,

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\leq\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\leq\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\leq\left(\frac{1}{2}\right)^2[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\leq\left(\frac{1}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]x-3\geq2[/tex3]

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[tex3]x-3\geq2[/tex3]

Novamente muito obrigado pela ajuda, pessoal.

O raciocínio, portanto, está em inverter o sinal quando a base for fração. Não sabia disso.

Sim, veja:

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}<\frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}<\frac{1}{8}[/tex3]

Ao aumentar o expoente, a potência diminui. E vice-versa.